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ANALISI MATEMATICA 1 Fac-simile di prova scritta

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ANALISI MATEMATICA 1 Fac-simile di prova scritta
ANALISI MATEMATICA 1
Corsi di Laurea in Ingegneria Meccanica e Aerospaziale
Fac-simile di prova scritta
Esercizio 1 [6 punti]
Studiare la funzione f definita da
f (x) = 2 arcsen
1
−x
cosh(x + 1)
[Dominio, limiti ed eventuali asintoti, continuità, derivabilità ed eventuali limiti della derivata prima, monotonia, eventuali punti di estremo relativo e assoluto, convessità, concavità, flessi, abbozzo
del grafico]
Esercizio 2 [5 punti]
Calcolare
Z
0
1
ex − 1
dx .
e2x + 3ex + 2
Esercizio 3 [5 punti]
Al variare di α > 0 studiare il carattere della serie
∞
X
(sen n + 2) ln(n + 1) − ln n
.
cos(1/n) − 1 nα
n=1
Quesito 1 [6 punti]
1. Si dia la definizione di serie convergente
2. È vero o falso che una serie converge se il suo termine generale è infinitesimo?
Quesito 2 [5 punti]
Si scriva il polinomio di Taylor di secondo grado e centro x0 = 1 della funzione f (x) = ex ln(x + 1).
Quesito 3 [5 punti]
Si enunci e dimostri il teorema della permanenza del segno.
Tempo a disposizione: tre ore.
Il candidato, a meno che non si ritiri, deve consegnare questo foglio assieme al foglio intestato.
Viene corretto solo ciò che è scritto sul foglio intestato.
È vietato usare libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo.
Ogni affermazione deve essere adeguatamente giustificata.
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