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Il luogo delle radici Il luogo delle radici • Esempio: controllo

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Il luogo delle radici Il luogo delle radici • Esempio: controllo
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
IlIlluogo
luogodelle
delleradici
radici
r +
e
D(s)
D(s)
u
G(s)
G(s)
y
H(s)
H(s)
• Esempio: controllo proporzionale: u(t)=Ke(t)
• Strumenti per analizzare la stabilita` del sistema a catena
chiusa al variare di K (criteri di Routh e Nyquist)
• Le prestazioni del sistema a catena chiusa dipendono
dalla posizione dei poli della f.d.t. a catena chiusa T(s),
che variano con K
1
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
IlIlluogo
luogodelle
delleradici
radici
• Esempio: controllo di posizione per il motore in continua,
controllo P (retroazione unitaria negativa)
A
Va (s)
m (s) =
s( s + 1)
D(s)G(s) =
kpA
s(1+ s)
kpA
kpA
kpA /
K
T(s) =
= 2
= 2
= 2
s(1+ s) + k p A s + s + k p A s + s / + k p A /
s + s/ + K
•
Sia =1. Determinare il valore di K in modo che T sia
stabile e:
1. abbia poli reali distinti, oppure
2. abbia poli complessi coniugati con =0.5.
2
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
IlIlluogo
luogodelle
delleradici
radici
K
T(s) = 2
s + s+K
1 1
r1,2 =
± 1 4K
2 2
•
K<1/4: radici reali distinte
•
K=1/4: radici reali coincidenti
•
K>1/4: radici complesse con Re[r]=-1/2
•
=arcsin1/2=30o
=1/2
d
= tan
3
= 3 = 4K 1
K =1
3
1
0.8
K>1/4
0.6
0.4
K=1
K=1/4
0.2
Imag Axis
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
IlIlluogo
luogodelle
delleradici
radici
0
K<1/4
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-2
-1.5
-1
-0.5
Real Axis
0
0.5
1
4
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
IlIlluogo
luogodelle
delleradici
radici
• Fissato ora K=1, studiare la dinamica del sistema al
variare di 1/ =c>0
1
T(s) = 2
s + cs + 1
c 1 2
r1,2 =
±
c
2 2
•
0<c<2: radici complesse coniugate
•
c=2: radici reali coincidenti
•
c>2: radici reali distinte
4
5
1
0.8
c<2
0.6
0.4
c=2
0.2
Imag Axis
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
IlIlluogo
luogodelle
delleradici
radici
0
c>2
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-2
-1.5
-1
-0.5
Real Axis
0
0.5
1
6
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
IlIlluogo
luogodelle
delleradici
radici
• Funzione di trasferimento a catena chiusa
D(s)G(s)
T(s) =
1+ D(s)G(s)H(s)
1+ D(s)G(s)H(s) = 0
b(s)
1+ KL(s) = 0 = 1+ K
a(s)
• a(s), b(s) monici e coprimi
• Poli di T(s)
radici del polinomio
pK (s) = a(s) + Kb(s)
• Problema: determinare come variano gli zeri di pK(s) al
variare di K
7
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
IlIlluogo
luogodelle
delleradici
radici
• K puo` essere sia positiva che negativa
• Fatto: la funzione che associa ad un polinomio monico di
grado n le sue n radici e` continua (piccole variazioni dei
coefficienti
piccole variazioni delle radici)
• Al variare di K, ciascuna radice di pK(s) descrive una curva
continua in C
• Luogo delle radici relativo a pK(s)
L = {s
• K 0: Luogo positivo
C: K
t.c. pK (s) = 0}
K 0: Luogo negativo
8
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
IlIlluogo
luogodelle
delleradici
radici
• Osservazioni preliminari:
• consideriamo solo K 0
• per il momento, L(s) propria (m=degb(s)
n=dega(s))
• a ciascun valore di K corrispondono n radici del
polinomio pK(s) (contate con la propria molteplicita`)
n punti del luogo
n “rami” del luogo (curve
parametrizzate in K) intersecantisi per i valori di K a cui
corrispondono radici multiple di pK(s)
• E` possibile una costruzione per punti (per via grafica)
• Regole per il tracciamento del luogo derivate da proprieta`
delle curve che costituiscono il luogo
9
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
Equazioni
Equazionidel
delluogo
luogo
• Operazione preliminare:
• si pone L(s) nella forma fattorizzata (di Evans)
s m + b1s m 1 + ... + bm
L(s) = n
s + a1sn 1 + ... + an
(s z1)(s z2 )K (s z m )
=
(s p1)(s p2 )K (s pn )
• Radici di pK(s)
soluzioni dell’equazione
b(s)
1
,
=
a(s)
K
K
0
10
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
Equazioni
Equazionidel
delluogo
luogo
• Sistema di due equazioni:
• condizione di fase: individua i punti s
appartengono al luogo
Arg
b(s)
= (2h + 1) , h
a(s)
C che
Z
• condizione di modulo: determina, a meno del segno, il
valore di K cui corrisponde un particolare punto del
luogo
b(s) 1
=
a(s) K
11
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
Equazioni
Equazionidel
delluogo
luogo
• Riformulazione delle due equazioni:
• condizione di fase:
m
n
" Arg[(s
z i )] " Arg[(s pi )] =
i=1
i=1
m
= "# i
i=1
n
" $ i = (2h + 1) ,
h
Z
i=1
• condizione di modulo:
n
% (s
pi )
% (s
zi )
K = i=1
m
i=1
12
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
Regole
Regoleper
per ililtracciamento
tracciamentodel
delluogo
luogo
• Numero dei rami e simmetria: per ogni K >0 pK(s) ha n
radici
il luogo ha n rami. Poiche` le radici figurano a
coppie complesse coniugate, il luogo e` simmetrico
rispetto all’asse reale
• Comportamento limite e asintoti:
b(s)
1
L(s) =
=
a(s)
K
pK (s) = a(s) + Kb(s) = 0
Per K=0 il luogo e` costituito dalle radici di a(s). Per K'+(, m
punti tendono alle radici di b(s), mentre, se n>m, n-m punti
vanno all’ ( lungo n-m semirette asintotiche che formano
una stella regolare con centro sull’asse reale nel punto
n
" pi
& = i=1
m
" zi
i=1
n m
13
Regole
Regoleper
per ililtracciamento
tracciamentodel
delluogo
luogo
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
• Inclinazione degli asintoti:
(2l + 1)
$l =
n m
, l = 0,1,K,n m 1
• Ogni ramo esce da una radice di a(s) (=polo di L(s)) e tende
o ad una radice di b(s) (=zero di L(s)) o verso (
• se n=m il luogo non va all’ ( per K'+( (i rami tendono alle
radici di b(s)).
• Porzione dell’asse reale appartenente al luogo:
appartiene al luogo se e solo se il numero totale di zeri e poli
al finito di L(s) a destra di e` dispari
14
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
Regole
Regoleper
per ililtracciamento
tracciamentodel
delluogo
luogo
• Punti doppi: se due radici reali di a(s) non sono separati
da una radice reale di b(s) (o, viceversa, se due radici reali
di b(s) non sono separati da una radice reale di a(s)),
allora il segmento che li congiunge appartiene interamente
al luogo
x
p1
s*
x
p2
o
z1
s*
o
z2
• Si ha quindi la presenza di un punto doppio in cui si
incontrano due rami del luogo
15
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
Regole
Regoleper
per ililtracciamento
tracciamentodel
delluogo
luogo
• Caratterizzazione analitica dei punti doppi: se s* e` uno
zero doppio di pK(s), allora vale che
pK (s) = (s s*) 2 q(s)
d
d
pK (s) = 2(s s*)q(s) + (s s*) 2 q(s)
ds
ds
d
pK (s)
=0
ds
s= s*
• s* e` uno punto doppio del luogo se
)
pK (s*) = 0
+
*d
+ ds pK (s) s=s* = 0
,
16
Regole
Regoleper
per ililtracciamento
tracciamentodel
delluogo
luogo
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
• Caratterizzazione equivalente:
db(s)
ds
b(s)
)+ a( s) + Kb( s) = 0
db( s)
* da( s)
+, ds + K ds = 0
da(s)
db(s)
b(s)
a(s)
=0
ds
ds
• Attraversamento dell’asse immaginario: gli eventuali punti
di attraversamento dell’asse immaginario ed il
corrispondente valore di K si determinano usando il
criterio di Routh cercando la transizione da stabilita`a
instabilita`
17
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
Esempi
Esempi
• Esempio:
G( s) = K
s+2
s( s + 1)( s + 3)
• luogo positivo (K 0)
• numero rami: n=3
• per K=0: poli di G(s)
0, -1, -3
• per K'+(: un ramo tende verso lo zero in -2, due vanno
verso ( lungo gli n-m=2 asintoti
• centro stella degli asintoti
n
&=
m
" pi
" zi
i=1
i=1
n m
4+2
=
= 1
2
18
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
Esempi
Esempi
• Inclinazione asintoti
(2h + 1)
$h =
n m
(2h + 1)
=
2
(h = 0,1,K,n m 1)
)
+2
(h = 0,1) = *
+3
,2
• Porzione asse reale: [-3,-2] - [-1,0]
• punto doppio tra 0 e -1
19
Imag Axis
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
Esempi
Esempi
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-4
-3
-2
-1
Real Axis
0
1
2
20
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
Esempi
Esempi
• Determinazione della posizione del punto doppio e del
corrispondente valore di K
) s3 + 4s2 + 3s + K(s + 2) = 0
*
3s2 + 8s + 3 + K = 0
,
2s3 + 10s2 + 16s + 6 = 0
s3 + 4s2 + 3s + K(s + 2)
roots([2 10 16 6])
ans =
-2.2328 + 0.7926i
-2.2328 - 0.7926i
-0.5344
s= 0.5344
=0
K = 0.4186
21
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
Esempi
Esempi
• Esempio:
G(s) = K
s+ 5
(s + 2)(s + 3)
• luogo positivo (K 0)
• numero rami: n=2
• per K=0: poli di G(s)
-2, -3
• per K'+(: un ramo tende verso lo zero in -5, un ramo va
verso ( lungo n-m=1 asintoto
• centro stella degli asintoti: non significativo
(2h + 1)
$
=
=
(h = 0)
• Inclinazione asintoti
h
n m
• Porzione asse reale: [- (,-5] - [-3,-2]
22
Esempi
Esempi
4
3
2
1
Imag Axis
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
• punti doppi: tra [- (,-5] e [-3,-2]
0
-1
-2
-3
-4
-10
-8
-6
-4
Real Axis
-2
0
2
23
Esempi
Esempi
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
• Calcolo dei punti doppi e corrispondenti valori di K:
da(s)
db(s) 2
b(s) + a(s)
= s + 10s + 19 = 0
ds
ds
) 2.55
s1,2 = 5 ± 6 = *
, 7.45
a(s) + Kb(s) = s 2 + 5s + 6 + K(s + 5) = 0
/ s2 + 5s + 6 2
K= 1
0 (s + 5) 3
K1,2
)0.10 > 0
=5m2 6=*
,9.89 > 0
24
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
Ulteriori
Ulterioriregole
regoleper
perililtracciamento
tracciamentodel
delluogo
luogo
• Punti multipli del luogo: se nel punto s* si incontrano h
rami del luogo, allora
)
pK (s*) = 0
+ d
pK (s)
=0
++
ds
s= s*
*
L
+ (h 1)
+d
pK (s)
=0
h
1
+, ds
s= s*
Inoltre gli h rami entranti e gli h
rami uscenti del punto sono
alternati e divisi da 2h angoli tutti
pari a /h
/2
/3
25
Ulteriori
Ulterioriregole
regoleper
perililtracciamento
tracciamentodel
delluogo
luogo
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
• Esempio:
G(s) = K
1
s(s + 1)(s + 2)
• luogo positivo (K 0)
• numero rami: n=3
• per K=0: poli di G(s)
0, -1, -2
• per K'+(: i tre rami vann verso ( lungo n-m=3 asintoti
• centro stella e inclinazione degli asintoti:
n
" pi
& = i=1
m
" zi
i =1
n m
=
0 1 2
= 1
3
) /3
+
(2h + 1)
$h =
=*
3
+5 /3
,
26
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
Ulteriori
Ulterioriregole
regoleper
perililtracciamento
tracciamentodel
delluogo
luogo
• porzione asse reale: [- (,-2] - [-1,-0]
• punto doppio in [-1,0]
• attraversamento asse immaginario
riga 3
riga 2
riga 1
riga 0
1
40
3
K
(6-K)/3
K
per K=6
fattore 3s2+6=3(s2+2)
poli in ±j 2
27
3
2
j 2
1
Imag Axis
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
Ulteriori
Ulterioriregole
regoleper
perililtracciamento
tracciamentodel
delluogo
luogo
0
-1
-j 2
-2
-3
-5
-4
-3
-2
-1
Real Axis
0
1
2
3
28
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
Ulteriori
Ulterioriregole
regoleper
perililtracciamento
tracciamentodel
delluogo
luogo
• Osservazione: i punti multipli possono anche essere
complessi (i.e. non sull’asse reale)
• Studio con Matlab di
G(s) = K
1
s(s + 4)(s2 + 4s + a)
• Piu` in dettaglio il caso a=5: poli in 0, -4, -2±j
• n-m-4 asintoti con centro e inclinazione
n
" pi
& = i=1
m
" zi
i =1
n m
=
0 4 4
= 2
4
)
+
+3
(2h + 1)
$h =
=*
4
+5
+, 7
/4
/4
/4
/4
29
Ulteriori
Ulterioriregole
regoleper
perililtracciamento
tracciamentodel
delluogo
luogo
) s(s + 4)(s2 + 4s + 5) + K = 0
*
3
2
+
24s
+ 42s + 20 = 0
4s
,
• grado elevato
delle radici
considerazioni basate sulla simmetria
Pole zero map
2
1.5
1
0.5
Imag Axis
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
• Equazioni per la determinazione dei punti multipli
“candidato”: -2
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-5
-4
-3
-2
Real Axis
-1
0
1
30
Ulteriori
Ulterioriregole
regoleper
perililtracciamento
tracciamentodel
delluogo
luogo
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
• Verifica:
) s(s + 4)(s2 + 4s + 5) + K
=0
s=
2
*
3
2
, 4( 2) + 24( 2) + 42( 2) + 20 = 0
• Dividendo per (s+2) si determinano le altre radici:
4s 3 + 24s2 + 42s + 20 = (s + 2)(4s 2 + 16s + 10)
• le restanti radici sono -2± 3/2 =-0.77, -3.22 (stessa distanza
da 0 e -4, rispettivamente
simmetria) e appartengono al
luogo positivo
• verifica: tutti i corrispondenti K devono essere reali e
positivi
31
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
Ulteriori
Ulterioriregole
regoleper
perililtracciamento
tracciamentodel
delluogo
luogo
s(s + 4)(s 2 + 4s + 5) + K
s(s + 4)(s 2 + 4s + 5)
s= s*
s=s*
=0
= K
• s*=-2
K=4
• s*= -2± 3/2
K=25/4
• Per a=8
s*=-2 punto quadruplo
d 2 pK (s)
2
=
12s
+ 48s + 48
=0
2
s=
2
ds
d 3 pK (s)
= 24s + 48 s= 2 = 0
3
ds
• Osservazione: per a>8
punti multipli complessi
32
IlIlluogo
luogodelle
delleradici:
radici:esempi
esempi eeapplicazioni
applicazioni
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
• Esempio: controllo P di orientamento di un satellite
1
D(s)G(s) = k p 2
s
• n=2 rami
• due asintoti verticali (n-m=2) lungo l’asse immaginario
) /2
(2h + 1)
$h =
=*
2
, 3 /2
• un punto doppio in s=0
• porzione asse reale: assente
• solo radici complesse
risposta oscillatoria
33
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
IlIlluogo
luogodelle
delleradici:
radici:esempi
esempi eeapplicazioni
applicazioni
• Controllo PD, con kp/kD=1 e K=kD:
k p + kD s)
(
s +1
D(s)G(s) =
=K
s2
s2
• n=2 rami (un all’infinito, l’altro verso -1 per K'+()
• asintoto orizzontale (n-m=1) lungo il semiasse reale
negativo
• un punto doppio in s=0
• porzione asse reale: [-(, -1] - [0]
• punto doppio in [-(, -1]
) s2 + K(s + 1) = 0
*
2s + K = 0
,
) s2 + ( 2s)(s + 1) = s2 2s = 0
*
K = 2s
,
s=0
s=-2 per
K=4
34
1.5
1
0.5
Imag Axis
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
IlIlluogo
luogodelle
delleradici:
radici:esempi
esempi eeapplicazioni
applicazioni
0
-0.5
-1
-1.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
Real Axis
-0.5
0
0.5
1
lo zero ha spostato a sinistra il luogo
35
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
IlIlluogo
luogodelle
delleradici:
radici:esempi
esempi eeapplicazioni
applicazioni
• Il luogo comprende una circonferenza: si sostituisca
s=x+jy nell’equazione del luogo
x 2 + j2xy
y 2 + K(x + 1+ jy) = 0
• Separando parte reale e parte immaginaria:
)x2
*
,
y 2 + K(x + 1) = 0
2xy + Ky = 0
x 2 + y 2 + 2x = 0
K = 2x
(x + 1) 2 + y 2 = 1
• Fatto generale: con 1 zero reale e due poli, il luogo
completo contiene una cfr. centrata nello zero
36
IlIlluogo
luogodelle
delleradici:
radici:esempi
esempi eeapplicazioni
applicazioni
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
• Un controllo PD reale e` in genere realizzato come
kD s
s+ z
D(s) = k p
=K
s/ p +1
s+ p
D(s)G(s) = K
s +1 1
s2 s + p
• in catena aperta, se p » 1 si aggiunge un modo “veloce”
che posso trascurare
• effetto in catena chiusa: ad esempio, p=11
• n=3 rami, n-m=2 rami vanno a (
K'+(, il terzo tende allo zero in -1
lungo gli asintoti per
• asintoti con inclinazione ± /2 e centro stella
n
&=
" pi
i =1
m
" zi
i =1
n m
p +1
=
= 5
2
37
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
IlIlluogo
luogodelle
delleradici:
radici:esempi
esempi eeapplicazioni
applicazioni
• porzione dell’asse reale: [-11, -1] - [0]
• Determinazione degli eventuali punti multipli:
) s2 (s + p) s(3s + 2 p)(s + 1) = 0
*
,K = s(3s + 2 p)
) s2 (s + p) + K(s + 1) = 0
*
3s2 + 2 ps + K = 0
,
p+ 3
s = 0, s +
s+ p = 0
2
2
p+ 3
( p + 3) 2
s1,2 =
±
4
16
5 = p 2 10 p + 9 > 0
p < 1, p > 9
p=0
punti doppi reali
38
11+ 3
(11+ 3) 2
7 ± 5 ) 2.38
s1,2 =
±
11 =
=*
16
2
4
, 4.62
• per p=11:
8
6
4
2
Imag Axis
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
IlIlluogo
luogodelle
delleradici:
radici:esempi
esempi eeapplicazioni
applicazioni
0
-2
-4
-6
-8
-14
-12
-10
-8
-6
-4
Real Axis
-2
0
2
4
6
39
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
IlIlluogo
luogodelle
delleradici:
radici:esempi
esempi eeapplicazioni
applicazioni
• Al diminuire di p il centro stella si sposta verso destra
• Per p=9, due punti doppi “collassano” in un punto triplo
) s2 (s + 9) + K(s + 1) = 0
+ 2
* 3s + 18s + K = 0
+6s + 18 = 0
s = 3, K = 27
,
• centro stella asintoti in &=-4
40
8
6
4
2
Imag Axis
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
IlIlluogo
luogodelle
delleradici:
radici:esempi
esempi eeapplicazioni
applicazioni
0
-2
-4
-6
-8
-12
-10
-8
-6
-4
-2
Real Axis
0
2
4
6
41
• Per 9<p<1, non ci sono punti doppi oltre a quello
nell’origine
• centro stella asintoti in &=-3.5
6
4
2
Imag Axis
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
IlIlluogo
luogodelle
delleradici:
radici:esempi
esempi eeapplicazioni
applicazioni
0
-2
-4
-6
-10
-8
-6
-4
-2
Real Axis
0
2
4
42
IlIlluogo
luogodelle
delleradici:
radici:esempi
esempi eeapplicazioni
applicazioni
1.5
1
0.5
Imag Axis
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
• Per p=1, il polo aggiuntivo cancella lo zero
0
-0.5
-1
-1.5
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
Real Axis
0.2
0.4
0.6
0.8
1
43
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
IlIlluogo
luogodelle
delleradici:
radici:esempi
esempi eeapplicazioni
applicazioni
• Per 0<p<1, i punti doppi oltre a quello nell’origine sono sul
luogo negativo:
• per p=1/2:
3.5
(3.5) 2
s1,2 =
±
4
16
)-1.3904
0.5 = *
,-0.3596
• porzione dell’asse reale: [-1, -1/2] - [0]
• centro stella asintoti in &=-3.5
44
2
1.5
1
0.5
Imag Axis
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
IlIlluogo
luogodelle
delleradici:
radici:esempi
esempi eeapplicazioni
applicazioni
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
Real Axis
0
0.5
1
1.5
2
45
IlIlluogo
luogodelle
delleradici:
radici:esempi
esempi eeapplicazioni
applicazioni
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
• Per p=0, s=0 e` polo triplo:
• n=3 rami, n-m=2 rami vanno a ( lungo gli asintoti per
K'+(, il terzo tende allo zero in -1
• asintoti con inclinazione ± /2 e centro stella
a=1/2
• porzione dell’asse reale: [-1, 0]
• punto doppio sul luogo negativo
• angoli di uscita dal polo nell’origine (punto triplo):
) /3
+
(2h + 1)
$h =
= (h = 0,1,2) = *
3
+5 /3
,
46
4
3
2
1
Imag Axis
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
IlIlluogo
luogodelle
delleradici:
radici:esempi
esempi eeapplicazioni
applicazioni
0
-1
-2
-3
-4
-5
-4
-3
-2
-1
0
Real Axis
1
2
3
4
47
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
IlIlluogo
luogodelle
delleradici:
radici:esempi
esempi eeapplicazioni
applicazioni
• Esempio: controllo di orientamento di un satellite con
flessibilita`, caso co-locato (non c’e’ flessibilita` tra
sensore e attuatore)
(s + 0.1) + 6 2
s +1
s + 12 s2 (s + 0.1)2 + 6.6 2
2
D(s)G(s) = K
[
]
• n=5 rami
• due asintoti verticali (n-m=2) con centro -11/2
• porzione asse reale: tra -12 e -1
• un punto doppio tra -12 e -1
• i rami uscenti dai poli complessi sono “attirati” verso gli
zeri complessi ad essi vicini
48
8
6
4
2
Imag Axis
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
IlIlluogo
luogodelle
delleradici:
radici:esempi
esempi eeapplicazioni
applicazioni
0
TextEnd
-2
-4
-6
-8
-15
-10
-5
Real Axis
0
5
49
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
IlIlluogo
luogodelle
delleradici:
radici:esempi
esempi eeapplicazioni
applicazioni
• Esempio: controllo di orientamento di un satellite con
flessibilita`, caso non co-locato (flessibilita` tra sensore e
attuatore)
s +1
1
D(s)G(s) = K
s + 12 s2 (s + 0.1)2 + 6.6 2
[
]
• n=5 rami
• 4 asintoti (n-m=4) con centro -11.2/4 e inclinati a h /4,
h=0,1,2,3
• porzione asse reale: tra -12 e -1
• un punto doppio tra -12 e -1
• i rami uscenti dai poli complessi entrano nel semipiano
destro (s1,2=±j6.525 per K=144.4)
50
IlIlluogo
luogodelle
delleradici:
radici:esempi
esempi eeapplicazioni
applicazioni
6
4
2
Imag Axis
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
8
0
TextEnd
-2
-4
-6
-8
-15
-10
-5
Real Axis
0
5
51
Luogo
Luogoal
alvariare
variaredi
dialtri
altriparametri
parametri
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
• Luogo delle radici:
pK (s) = a(s) + Kb(s)
• descrive come variano le radici di pK(s) al variare di K
• in genere, b(s) e a(s) sono numeratore e denominatore di
una f.d.t, e K il guadagno
• lo strumento e` di uso generale
• si puo` utilizzare per analizzare gli zeri di polinomi al
variare di un parametro (che puo` rappresentare la
posizione di una radice, un coefficiente, etc.) se il
polinomio e` esprimibile nella forma
p& (s) = q(s) + &r(s)
52
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
Luogo
Luogoal
alvariare
variaredi
dialtri
altriparametri
parametri
• Al variare di &, le radici p&(s) si muovono sul luogo delle
radici ottenuto a partire da G(s)=&r(s)/q(s) (f.d.t. “fittizia”),
dove & gioca il ruolo del guadagno
• Le regole di tracciamento del luogo sono quelle gia` viste
• Osservazione: in alcuni casi la f.d.t. “fittizia” non e`
propria!
1+ KL(s) = 0
L non propria
K 1 + L(s) = 0
L 1(s)K 1(s) + 1 = 0
1+ K 7L7(s) = 0
K7 = K 1
L7(s) = L 1(s)
L’ propria
53
Esempio:
Esempio:retroazione
retroazionetachimetrica
tachimetrica
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
Esempio: sistema di controllo con retroazione tachimetrica
r +
C(s)
C(s)
-
+ u
G(s)
G(s)
-
&&ss
y
12
20
G(s) =
C(s) =
s(s + 2)
s + 10
• Studiare la posizione dei poli del sistema in catena chiusa
al variare della costante &
C(s)W i (s)
G(s)
T(s) =
W i (s) =
1+ C(s)W i (s)
1+ &sG(s)
240
T(s) = 3
s + 12(1+ & )s2 + 20(1+ 6& )s + 240
54
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
Esempio:
Esempio:retroazione
retroazionetachimetrica
tachimetrica
• Studio delle radici del polinomio p&(s)
p& (s) = s3 + 12(1+ & )s 2 + 20(1+ 6& )s + 240
p& (s) = q(s) + &r(s) =
= s3 + 12s 2 + 20s + 240 + & (12s 2 + 120s)
• Il contorno delle radici richiesto coincide con il luogo delle
radici ottenuto a partire da
2
r(s)
+ 120s
12s
˜
= 3
G(s) = &
q(s) s + 12s2 + 20s + 240
55
Esempio:
Esempio:retroazione
retroazionetachimetrica
tachimetrica
s3 + 12s2 + 20s + 240 = s2 (s + 12) + 20(s + 12)
= (s2 + 20)(s + 12)
6
4
2
Imag Axis
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
• Raccogliendo:
e` una semicfr.
completa? no
0
-2
-4
-6
-16
-14
-12
-10
-8
-6
Real Axis
-4
-2
0
2
4
56
Compensazione
Compensazionedinamica
dinamica
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
•
Tipologie elementari di azione di controllo dinamica:
1. azione anticipatrice (lead)
2. azione ritardatrice (attenuatrice) (lag)
3. azione “a tacca” (notch)
•
Azione anticipatrice
s+ z
D(s) = K
, z< p
s+ p
/ 2
/ 2
$ = arctan1 4 arctan1 4 > 0 se z < p
0z3
0 p3
•
approssima un controllore PD
57
Compensazione
Compensazionedinamica
dinamica
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
•
Azione ritardatrice
s+ z
D(s) = K
, z> p
s+ p
/ 2
/ 2
$ = arctan1 4 arctan1 4 < 0 se z > p
0z3
0 p3
•
introduce un guadagno alle basse frequenze
j +z z
8 > 1 per
j +p p
•
80
approssima un controllore PI
58
Compensazione
Compensazionedinamica
dinamica
A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova
•
Compensazione notch:
s2 + 2
D(s) =
(s +
•
0s +
2
)
0
2
0
agisce in una banda selettiva di frequenze, utile nel caso
si voglia mitigare l’effetto di una risonanza
59
Fly UP