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Problema B1 In un lotto di 20 pezzi fabbricati, si prelevano

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Problema B1 In un lotto di 20 pezzi fabbricati, si prelevano
B
Problema B1
In un lotto di 20 pezzi fabbricati, si prelevano simultaneamente 4 pezzi.
1. Quanti prelevamenti diversi si possiamo scegliere?
2. Si supponga che su 20 pezzi frabbricati, 4 sono difettosi. In quanti prelevamenti
(a) 4 sono buoni?
(b) almeno un pezzo é difettoso?
(c) uno e un solo pezzo é difettoso?
(d) due almeno sono difettosi?
Soluzione.
1. Un prelevamento é una combinazione di 4 pezzi tra 20. Il numero totale di
possibilitá é
( )
20
20!
= 4845
=
4!(20 − 4)!
4
2. (a) Un prelevamento di 4 pezzi buoni é una combinazione di 4 pezzi tra i
16 buoni. Il numero totale di possibilitá é
( )
16
16!
=
= 1820
4
4!(16 − 4)!
(b) Il numero di prelevamenti di 4 pezzi contenenti almeno un pezzo difettoso é uguale al numero di prelevamenti di 4 pezzi meno il numero di
prelevamenti di 4 pezzi contenenti 4 pezzi non difettosi. Utilizzando i
risultati precedenti si ha
4845 − 1820 = 3025.
(c) Un prelevamento di 4 pezzi di cui uno e uno solo é difettoso é una
combinazione di un pezzo tra i 4 difettosi e 3 tra i 16 buoni. Dunque
il numero totale di possibilitá é
( )( )
4 16
16!
=4×
= 4 × 560 = 2240.
1
3
3!(16 − 3)!
(d) due almeno sono difettosi: un prelevamento di 4 pezzi di cui 2 almeno
sono difettosi é una combinazione di 2 pezzi tra i 4 difettosi e 2 pezzi
tra i 16 buoni, o una combinazione di 3 pezzi tra i 4 difettosi e un
pezzo tra i 16 buoni, una combinazione di 4 pezzi tra i 4 difettosi. Il
numero totale di possibilitá é
( )( ) ( )( ) ( )
4 16
4 16
4
+
+
=
2
2
3
1
4
=
16!
4!
16!
4!
×
+
×
+1
2!(4 − 2)! 2!(16 − 2)! 3!(4 − 3)! 1!(16 − 1)!
= 6 × 120 + 4 × 16 + 1 = 785.
1
2
Problema B2
In una lotteria ogni partecipante sceglie 6 numeri distinti nell’insieme {1, . . . , 36}.
Un arbitro estrae a caso e simultaneamente 6 numeri distinti. Si guadagna se
almeno 3 dei numeri scelti dal partecipante appartengono alla serie dei 6 numeri
estratti dall’arbitro. Calcolare la probabilitá di guadagnare.
Soluzione. L’evento certo é Ω = {combinazione di classe 6 tra 36 numeri }.
Allora
( )
36
Card (Ω) =
.
6
Si cerca la probabilitá dell’evento B=” si hanno almeno 3 dei 6 numeri estratti dall’arbitro”. Ω é finito e si ha equiprobabilitá e lo spazio di probabilitá
é {Ω, P(Ω), P } dove P é la probabilitá uniforme. Allora
P (A) =
Card (B)
.
Card (Ω)
Resta da determinare Card (B). Si ha
B = B1 ∪ B2 ∪ B3 ∪ B4
dove B1 =”si hanno esattamente 3 dei 6 numeri estratti dall’arbitro”, B2 = ”si
hanno esattamente 4 dei 6 numeri estratti dall’arbitro”, B3 = ”si hanno esattamente
5 dei 6 numeri estratti dall’arbitro”, B4( =
)(”si) hanno esattamente
( )( )6 dei 6 numeri
estratti dall’arbitro”. Poi Card(B1 ) = 63 30
, Card(B2 ) = 64 30
3
2 , Card(B3 ) =
(6)(30)
e
Card(B
)
=
1.
Poiché
B
∩
B
=
∅,B
∩
B
=
∅,B
∩
B
= ∅,B2 ∩ B3 =
4
1
2
1
3
1
4
5
1
∅,B2 ∩ B4 = ∅,e B3 ∩ B4 = ∅, allora
Card (B) = Card(B1 ∪ B2 ∪ B3 ∪ B4 )
= Card(B1 ) + Card(B2 ) + Card(B3 ) + Card(B4 ) =
( )( ) ( )( ) ( )( )
6 30
6 30
6 30
=
+
+
+ 1.
3
3
4
2
5
1
Segue che
(6)(30)
P (B) =
3
3
+
(6)(30)
4
( )(30)
+ 6
(236) 5
6
1
+1
=
2093
≃ 0, 0451.
46376
Problema B3
Una scatola indicata con U contiene 8 palline di cui 3 sono bianche e 5 nere,
un’altra scatola denotata con V contiene 3 palline di cui 2 bianche e 1 nera. Si
lanci un dado cubico onesto. Se il numero ottenuto é 6, si estragga a caso una
pallina della scatola U , se no, si estragga a caso un pallina da V .
1. Qualé la probabilitá di estrarre un pallina bianca?
2. Si sa che la pallina estratta é bianca. Qualé la probabilitá che la pallina
provenga dalla scatola V .
Soluzione. Analisi dell’enunciato. Si considerino gli evenuti U = {si estrae una
pallina dalla scatola U }, V = { si estrare una pallina dalla scatola V }, B = {La
3
pallina estratta é bianca } e N = {la pallina estratta é nera }. Poiché il dado é
onesto, si ha
1
5
P (U ) = , P (V ) = .
6
6
Visto poi il numero di palline nere e bianche in ciascuna scatola U, V , si ha
3
5
2
1
, P (N |U ) = , P (B|V ) = , P (N |V ) = .
8
8
3
3
1. Si cerchi di calcolare P (B). Siccome V = U la formula delle probabilitá totali
fornisce
3 1 2 5
89
P (B) = P (B|U )P (U ) + P (B|V )P (V ) = × + × =
≃ 0, 618.
8 6 3 6
144
2. Si cerchi di calcolare P (V |B). dal risultato in 1. si ha
P (B|U ) =
P (V |B) =
P (B|V )P (V )
=
P (B)
2
3
×
5
6
89
144
=
80
≃ 0, 8988.
89
Problema B4
In una grande cittá abitano a donne e b uomini. Il Ministro della Giustizia deve
scegliervi a caso 5 persone per formare la giuria della corte d’Assise. Sia X la v.a.
uguale al numero di donne presenti nella giuria.
1. Determinare lo spazio dell’evento certo Ω adatto a questa esperianza.
2. Determinare la legge della v.a. X. Riconoscere una legge di probabilitá
usuale.
Soluzione.
1. Si sceglie l’evento certo Ω (chiamato anche universo) seguente Ω = {combinazioni
di classe 5 tra a + b persone}. Dunque
(
)
a+b
Card Ω =
.
5
Poiché Ω é finito e si ha equiprobabilitá lo spazio delle probabilitá é la terna
{Ω, P(Ω), P } dove P é la probabilitá uniforme.
2. Si ha X(Ω) = {0, . . . , 5}. Allora {X = k} (=”
) ci sono esattamente k donne
nella giuria”. Per la scelta di k donne ci sono ka possibilité per la scelta degli
( b )
uomini ci sono 5−k
possibilitá. Dunque
( )(
)
a
b
Card({X = k}) =
.
k
5−k
Dunque
( )( )
P (X = k) =
a
k
b
5−k
(a+b
)
5
k ∈ {0, . . . , 5}.
a
La legge di probabilitá é la ipergeometrica di parametri a + b, n, a+b
, con n = 5.
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