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introduzione alle equazioni differenziali ordinarie

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introduzione alle equazioni differenziali ordinarie
2
INTRODUZIONE ALLE EQUAZIONI
DIFFERENZIALI ORDINARIE
Si chiamano equazioni differenziali le equazioni in cui le incognite sono funzioni di una
o più variabili indipendenti, ed in cui compaiano non solo le funzioni, ma anche le loro
derivate. Nel caso in cui si abbia una sola variabile indipendente si parla di equazioni
differenziali ordinarie. Nel caso di più variabili indipendenti si parla di equazioni differenziali alle derivate parziali. In questo capitolo introdurremo alcuni aspetti della
teoria delle equazioni differenziali ordinarie.
Useremo la notazione classica dei testi che trattano di sistemi dinamici, e che
abbiamo già introdotto nel primo capitolo. Questa notazione tiene conto del fatto
che stiamo cercando di descrivere mediante un modello l’evoluzione temporale di un
sistema reale. Quindi identificheremo la variabile indipendente t con il tempo, e parleremo spesso di evoluzione temporale del sistema per far riferimento all’andamento
delle soluzioni.1
Un’equazione differenziale ordinaria avrà la forma generale
Φ(t, ẋ, ẍ, . . . , x(n) ) = 0 .
Diremo che si tratta di un’equazione differenziale di ordine n – il massimo ordine
di derivazione che compare nell’equazione stessa. Se possiamo risolvere univocamente
questa equazione rispetto alla sua derivata di ordine massimo potremo anche scrivere
x(n) = f (t, ẋ, ẍ, . . . , x(n−1) ) ;
diremo in questo caso che l’equazione è in forma normale.
1
Va da sé che un tal linguaggio sarebbe del tutto inappropriato in un testo di Analisi
Matematica, ove si considerano problemi astratti indipendentemente dalla possibilità di
applicarli a modelli del mondo reale. Ma riteniamo che un tal piccolo abuso di linguaggio
sia perfettamente naturale ed accettabile in un testo il cui scopo è discutere di sistemi
dinamici ed in particolare di Meccanica Classica.
20
Capitolo 2
Come si è detto nel primo capitolo, risolvere l’equazione significa trovare una funzione x(t) che sostituita assieme alle sue derivate temporali nell’equazione la trasformi
in un’identità in t. Al procedimento di soluzione dell’equazione si dà il nome di integrazione.
2.1
La riduzione alle quadrature
Iniziamo la discussione con il metodo classico di riduzione alle quadrature, ovvero di
risoluzione di un’equazione differenziale mediante il calcolo di integrali. Ne illustreremo
l’applicazione in due casi:
(i) l’equazione ẋ = f (t), ovvero il problema di ritrovare la primitiva di una funzione
ed il suo collegamento a quello del calcolo di un’area;
(ii) l’equazione ẋ = f (x), che descrive un sistema autonomo.
Nel corso della discussione parleremo anche del problema di Cauchy,2 o ai dati iniziali.
Nel trattare il secondo punto parleremo anche delle soluzioni stazionarie o di equilibrio.
2.1.1 Il calcolo della primitiva ed il problema delle aree
Iniziamo col considerare il caso particolarmente semplice di un’equazione della forma
(2.1)
ẋ = f (t) ,
in cui il termine noto non dipenda da x. La funzione f (t) potrà essere definita su tutto
l’intervallo reale, o anche semplicemente su un intervallo aperto, e per semplicità la
supporremo almeno continua. Supponiamo di voler tracciare l’andamento qualitativo
della funzione x(t), esattamente come nel primo corso di analisi matematica abbiamo
appreso a tracciare il grafico di una funzione assegnata. Il problema qui è che non
conosciamo la funzione, ma solo la sua derivata. L’informazione che abbiamo è del
tipo illustrato nella figura 2.1: per ciascun valore di t possiamo tracciare una famiglia
di rette parallele che ci danno la tangente della funzione x(t) cercata. Per ciascun
punto della retta verticale di ascissa t passa una di queste tangenti, ma non sappiamo
a che altezza la curva x(t) attraversi
questa retta. Il problema è trovare una curva
x(t) che in ogni punto t, x(t) abbia per tangente proprio una delle rette che abbiamo
tracciato, e precisamente quella che nel punto (t, x(t)) ha la pendenza f (t). In figura
è rappresentata una possibile soluzione.
Un semplice sguardo alla figura suggerisce immediatamente che valgano le proprietà seguenti:
(i) traslando la soluzione rappresentata in direzione verticale di una quantità arbitraria si ottiene un’altra soluzione;
(ii) qualunque soluzione si ottiene per traslazione in direzione verticale di una
soluzione nota;
(iii) fissato un valore t0 arbitrario la famiglia di soluzioni viene parametrizzata dal
valore x0 della soluzione nel punto t0 .
2
Augustin Louis Cauchy, nato a Parigi, 21 agosto 1789; morto a Sceaux, nei pressi di
Parigi, 23 maggio 1857.
Introduzione alle equazioni differenziali ordinarie
21
x
t
Figura 2.1. L’equazione differenziale ẋ = f (t) determina nel piano x, t un
insieme di rette. La soluzione è una curva che in ogni punto (t, x(t)) ha per
tangente la retta passante per quel punto.
Ci si domanda, ovviamente, se questo sia un inganno nascosto nell’ingenuità del disegno o un fatto reale.
Riformuliamo la prima proprietà cosı̀: se x(t) è una soluzione dell’equazione (2.1),
allora anche x(t) + c lo è, qualunque sia c ∈ R. Si vede immediatamente che ciò è vero.
d
(x + c) = ẋ, ed il secondo membro non muta
Infatti, sostituendo nell’equazione si ha dt
perché f (t) non dipende da x.
La seconda proprietà si riconduce alla seguente affermazione: se x1 (t) e x2 (t) sono
due soluzioni dell’equazione (2.1) allora x2 (t) = x1 (t) + c, con c ∈ R. La dimostrazione
d
(x2 − x1 ) = ẋ2 − ẋ1 = 0, e l’affermazione segue dalla
è semplice: basta osservare che dt
3
formula di Lagrange, o formula degli incrementi finiti .4
La terza proprietà richiede un po’ più di attenzione. Riformuliamola come segue:
per ogni condizione iniziale x(t0 ) = x0 fissata esiste una soluzione che la soddisfa. È
questo il problema ai dati iniziali, o problema di Cauchy. Ci si pone anche la domanda
se questa soluzione sia unica, e se sia prolungabile a tutti i tempi.
Il caso che stiamo considerando altro non è che la ricerca della primitiva della
3
Giuseppe Lodovico Lagrangia (infrancesato in Joseph Louis Lagrange), nato a Torino,
allora regno di Piemonte e Sardegna, 25 Gennaio 1736; morto a Parigi, 10 aprile 1813.
4
Ricordiamo il teorema di Lagrange: se la funzione x(t) è continua sull’intervallo [a, b] e
differenziabile in (a, b) allora esiste un punto ξ ∈ (a, b) tale che x(b) − x(a) = (b − a) ẋ(ξ).
Nel caso che stiamo considerando abbiamo ẋ(t) = 0 su tutto l’intervallo, e dunque deve
essere x(b) − x(a) = 0.
22
Capitolo 2
f (t)
t0
dt
t
Figura 2.2. La soluzione dell’equazione ẋ = f (t) si riconduce al calcolo
dell’area compresa tra il grafico della funzione f (t) e l’asse delle ascisse.
funzione f (t), strettamente connesso con il problema del calcolo integrale. Il procedimento di soluzione è ben spiegato nei testi di analisi, e ci limitiamo a ricordarlo
brevemente, illustrandolo con la figura 2.2. Scriviamo l’equazione nella forma
(2.2)
dx = f (t)dt ;
questo significa che mentre si incrementa la variabile indipendente da t fino a t + dt la
variabile dipendente x viene incrementata di f (t)dt, ossia dell’area del rettangolo di
base dt ed altezza f (t). Fissiamo t0 come istante iniziale ed il valore corrispondente
x(t0 ) = x0 . Se incrementiamo il tempo ad intervalli dτ fino a t avremo un incremento
totale di x dato dalla somma di tutti gli incrementi in ciascun intervallino dτ . In una
formula5
Z
Z
x
t
dξ =
x0
f (τ )dτ ,
t0
ovvero
(2.3)
x(t) = x0 +
Z
t
f (τ )dτ .
t0
Questa formula esprime il
5
Una piccola osservazione sulla notazione: la somma si estende fino a x a sinistra e fino a
t a destra; corrispondentemente, gli indici di somma sono stati cambiati rispettivamente
in ξ ed in τ .
Introduzione alle equazioni differenziali ordinarie
23
Teorema fondamentale del calcolo: se x(t) è una primitiva di f (t) allora vale la
relazione
Z t
f (τ )dτ .
x(t) − x(t0 ) =
t0
In altre parole, l’incremento di x sull’intervallo [t0 , t] è pari all’area – in senso algebrico
– compresa tra il grafico della funzione f (t) e l’asse delle ascisse. Per la dimostrazione
rimandiamo ai testi di Analisi Matematica.
Soffermiamoci ancora un istante sul problema delle condizioni iniziali, o di Cauchy.
Le proprietà (i) e (ii) che abbiamo enunciato sopra asseriscono che se esiste una primitiva x(t) della funzione f (t) allora tutte le primitive hanno la forma x(t) + c. La
domanda è: come si riconnette il problema del calcolo della primitiva, ed in particolare la proprietà enunciata, con il problema di Cauchy? La risposta è, tutto sommato,
semplice, ed è nascosta nell’arbitrarietà della costante c. In effetti, possiamo guardare
alla condizione iniziale x(0) = x0 come ad una equazione per c. Precisamente, sia x1 (t)
una qualsiasi soluzione, che abbiamo determinato in qualche modo. Sommandole una
costante arbitraria c e sostituendola nella condizione iniziale otteniamo x 1 (t0 )+c = x0 ,
e dunque6 c = x0 − x1 (t0 ). Questa procedura è seguita comunemente nei trattati di
Analisi Matematica. Precisamente, si determina la soluzione generale dell’equazione
differenziale in una forma che contenga un numero sufficiente di parametri arbitrari.
Questi vengono determinati a loro volta tramite le condizioni iniziali.
La forma (2.3) della soluzione tiene già conto della condizione iniziale, e riconduce
la soluzione del problema di Cauchy al calcolo di un integrale sull’intervallo [t 0 , t].
Possiamo ben considerarla come la soluzione completa del problema. Da qui deduciamo
anche che la soluzione è univocamente determinata dal dato iniziale x 0 .
Nei trattati classici la formula (2.3) viene detta soluzione per quadrature. Si intende con questo che la soluzione è scritta in una forma che richiede solo l’esecuzione
di un numero finito di operazioni algebriche, inclusa eventualmente l’inversione di
funzioni, ed il calcolo di un numero finito di integrali di funzioni note.7
2.1.2 Sistemi autonomi
Consideriamo ora il caso di un sistema autonomo, ossia il sistema descritto
dall’equazione
(2.4)
ẋ = f (x) ,
nella quale il secondo membro non contiene esplicitamente il tempo, ma ne dipende
implicitamente tramite la funzione incognita x(t). Per fissare le idee, supporremo la
funzione f (x) continua su un intervallo G ⊂ R. Anche in questo caso non conosciamo
6
7
La frase può sembrare un po’ fumosa, ma ha un significato preciso: se conosco la soluzione
x1 (t) so calcolare, in linea di principio, x1 (t0 ), che è un numero reale. Quindi so calcolare
anche x0 − x1 (t0 ), ossia la costante c.
Il termine quadratura fa riferimento appunto al calcolo di un’area, svolto calcolando
l’integrale.
24
Capitolo 2
x
t
Figura 2.3. L’insieme delle rette tangenti per un’equazione della forma ẋ =
f (x), ed una possibile soluzione.
la funzione, ma abbiamo informazioni sulla sua derivata. La figura 2.3 mostra che da
un punto di vista geometrico non ci sono differenze sostanziali rispetto al caso trattato
fin qui. Semplicemente, le rette tangenti alla soluzione sono parallele su ciascuna retta
orizzontale, anziché verticale, il che si riconduce, in buona sostanza, ad uno scambio
di ruoli tra x e t. Anche qui, il problema è trovare una curva x(t) tale che in ogni
punto t, x(t) la retta tangente alla curva sia proprio quella tracciata. Consideriamo
anche in questo caso il problema di Cauchy, fissando la condizione iniziale x(t 0 ) = x0 .
Cominciamo l’analisi con la seguente osservazione, semplice ma utile: la figura
suggerisce che data una soluzione se ne possano costruire immediatamente infinite altre
semplicemente traslando la curva in direzione orizzontale. L’operazione è illustrata in
figura 2.4. Formalmente: se x(t) è una soluzione, anche x1 (t) = x(t−t′ ) lo è, qualunque
sia t′ ∈ R. Si dice che la soluzione x1 (t) è ottenuta da x(t) per traslazione temporale.
La verifica richiede un briciolo di attenzione, ma non è difficile. Affermare che
x(t)
è soluzione significa dire che vale identicamente in t l’eguaglianza
ẋ(t)
=
f
x(t)
. Per
′
′
la funzione x1 (t) vale ẋ1 (t) = ẋ(t − t ) = f x(t − t ) = f x1 (t) , e confrontando il
primo e l’ultimo termine di questa catena di eguaglianze si conclude che x 1 (t) è una
soluzione.
Il risultato appena provato è vero grazie all’ipotesi che il secondo membro
dell’equazione differenziale sia indipendente dal tempo, ovvero che il sistema sia autonomo, ma è falso nel caso non autonomo. In conseguenza di tale proprietà dei sistemi
autonomi semplificheremo senz’altro il problema ponendo t0 = 0, e scrivendo la condizione iniziale come x(0) = x0 . In questo modo si ripartiscono le condizioni iniziali
Introduzione alle equazioni differenziali ordinarie
25
x
x(t)
x(t − t0)
0
t0
t
Figura 2.4. Traslazione temporale di una funzione. In ogni punto t la funzione
traslata x(t − t′ ) assume il valore della funzione x(t) nel punto t − t′ .
e quindi le soluzioni in famiglie parametrizzate dal dato iniziale x0 , e si sottintende
che all’interno di ciascuna famiglia le diverse soluzioni differiscano per una traslazione
temporale.
Lemma 2.1: Sia f (x) = 0. Allora la funzione x(t) = x è una soluzione soddisfacente
la condizione iniziale x(0) = x.
In altri termini: i punti ove si annulla il secondo membro sono soluzioni (costanti)
dell’equazione differenziale.
Dimostrazione. Che la funzione x(t) = x verifichi la condizione iniziale è fatto
ovvio. Che sia soluzione lo si verifica immediatamente per sostituzione nell’equazione,
d
x = 0.
Q.E.D.
tenendo conto che dt
Ad un punto x ove f (x) si annulla daremo il nome di punto di equilibrio; alla
soluzione x(t) = x daremo il nome di soluzione stazionaria, o anche soluzione di
equilibrio. Sottolineiamo fin d’ora che la ricerca di equilibri costituisce il punto di
partenza per lo studio qualitativo delle soluzioni delle equazioni differenziali. Grazie
al lemma che abbiamo appena visto ci è facile dimostrare la
Proposizione 2.2: L’equazione ẋ = f (x) ammette una soluzione stazionaria x(t) =
x se e solo se x è un punto di equilibrio.
Dimostrazione. Che i punti di equilibrio siano soluzioni stazionarie è il contenuto
del lemma 2.1. Viceversa, sia x(t) = c, con c ∈ R, una soluzione
stazionaria. Allora
vale ẋ(t) = 0 per tutti i tempi t, e deve essere anche f x(t) = f (c) = 0.
Q.E.D.
Consideriamo ora un punto x0 che non sia un equilibrio, ossia f (x0 ) 6= 0. Poiché
26
Capitolo 2
abbiamo ammesso la continuità della funzione ne segue che esisterà un intorno U di
x0 in cui f (x) non si annulla e, di più, manterrà il suo segno, positivo o negativo. In
questo intorno possiamo riscrivere l’equazione (2.4) come
dx
= dt .
f (x)
(2.5)
L’equazione non è dissimile dalla (2.2) che abbiamo visto nel paragrafo 2.1.2. Se
scegliamo un qualunque punto x ∈ U ed integriamo ambo i membri tenendo conto
della condizione iniziale x(0) = x0 otteniamo
Z x
Z t
dξ
(2.6)
dτ = t .
=
x0 f (ξ)
0
Possiamo leggere questa formula come segue: il tempo necessario perché la soluzione
partita da x0 raggiunga il punto x è dato dall’integrale del primo membro. Se vogliamo
ricavare in modo esplicito la soluzione x(t) occorre che la funzione sia invertibile.
Ma questo è vero, almeno localmente; infatti, per la permanenza del segno di f
nell’intorno di x0 , la funzione integrale a primo membro è funzione strettamente
monotòna dell’estremo libero di integrazione, e come tale invertibile. In conclusione,
abbiamo dimostrato la seguente
Proposizione 2.3: Sia f (x) una funzione reale continua su un aperto G contenuto
in R; sia x0 ∈ G e t0 ∈ R arbitrario. Allora esiste un intorno U di x0 ed un intorno I
di t0 in cui l’equazione ẋ = f (x) ammette una soluzione soddisfacente la condizione
iniziale x(t0 ) = x0 .
Si noti bene che non si afferma nulla sull’unicità della soluzione, né si garantisce che
essa possa essere prolungata arbitrariamente nel tempo.
2.2
I problemi dell’unicità e della prolungabilità
Discutiamo i problemi dell’unicità e della prolungabilità servendoci di alcuni esempi
facilmente trattabili con la teoria che abbiamo esposto fin qui. Nel frattempo illustreremo la condizione di Lipschitz,8 che ha un ruolo di primo piano nella dimostrazione
dell’unicità della soluzione.
2.2.1
L’equazione lineare
Iniziamo con la semplice equazione
(2.7)
ẋ = λx
ed applichiamo la teoria che abbiamo appena sviluppato.
Per λ = 0 l’equazione si riduce al caso banale ẋ = 0. Ogni punto x0 ∈ R è un
equilibrio, e quindi si hanno solo soluzioni stazionarie x(t) = x 0 .
8
Rudolf Otto Sigismund Lipschitz, nato a Königsberg (allora Germania; oggi Kaliningrad,
in Russia), 14 maggio 1832; morto a Bonn, 7 ottobre 1903.
Introduzione alle equazioni differenziali ordinarie
27
Figura 2.5. Le soluzioni dell’equazione ẋ = λx. A sinistra il caso λ < 0, a
destra il caso λ > 0.
Veniamo dunque al caso più interessante λ 6= 0. Esiste sempre un’unica soluzione
di equilibrio x(t) = 0, che corrisponderà ad un dato iniziale nullo. Escludendo pertanto
il caso x0 = 0 calcoliamo la soluzione mediante la formula di quadratura (2.6), ossia
Z x
dξ
= λt .
x0 ξ
Otteniamo ln |x| − ln |x0 | = λt , dove occorre ricordare che x0 e x devono avere lo
stesso segno. Calcolando l’esponenziale di ambo i membri otteniamo infine
x(t) = x0 eλt .
La forma stessa della soluzione ne garantisce l’unicità, dal momento che la funzione
esponenziale non si annulla per nessun valore reale. Le soluzioni sono rappresentate in
figura 2.5. Osserviamo che per x0 = 0 si ritrova la soluzione stazionaria.
2.2.2
Un esempio di non unicità della soluzione
Come secondo esempio consideriamo l’equazione
ẋ = x2/3 .
(2.8)
La funzione f (x) = x2/3 al secondo membro è continua su tutto l’asse reale e si annulla
nel punto di equilibrio x = 0. Si ha dunque la soluzione stazionaria x(t) = 0. Si osserva
però che x = 0 è un punto di non differenziabilità della funzione, perché ivi la sua
derivata f ′ (x) = 23 x−1/3 diventa infinita.
Supponiamo dunque x0 6= 0, e costruiamo la soluzione con dato iniziale x(0) = x0 .
Facendo ancora uso della formula di quadratura (2.6) otteniamo
Z x
1/3
ξ −2/3 dξ = 3(x1/3 − x0 ) = t .
x0
28
Capitolo 2
Figura 2.6. Le soluzioni dell’equazione ẋ = x2/3 . La soluzione stazionaria non
è unica. Una soluzione con dato iniziale x0 < 0 cade in un tempo finito sulla
soluzione stazionaria, e da qui può staccarsi ad un tempo arbitrario (si veda il
testo).
Risolvendo questa equazione rispetto ad x si ottiene la soluzione
3
t
1/3
.
(2.9)
x(t) = x0 +
3
La famiglia di soluzioni al variare del dato iniziale x0 è rappresentata in figura 2.6.
Si osserva subito che tutte queste soluzioni attraversano l’asse delle ascisse, il che
significa che intersecano la soluzione stazionaria x(t) = 0. In effetti, sostituendo x 0 = 0
nella (2.9) si ottiene la soluzione x(t) = t3 /27, che al pari della soluzione stazionaria
soddisfa la condizione iniziale x(0) = 0. Cade dunque l’unicità della soluzione.
È interessante descrivere l’evoluzione temporale di un sistema che obbedisca a
questa equazione. Consideriamo un dato iniziale x(0) = 0. Il sistema può restare nello
stato stazionario per tutti tempi positivi, oppure, ad un istante t 1 ≥ 0 arbitrario,
sfuggire dall’equilibrio lungo una parabola cubica x(t) = (t − t1 )3 /27. Se ciò avviene,
l’evoluzione successiva è determinata in modo univoco. Sia invece x 0 < 0. Allora
1/3
l’evoluzione resta determinata in modo univoco fino al tempo t2 = −3x0 > 0 , quando
la soluzione cade sul punto di equilibrio. Poi tutto prosegue come per il dato iniziale di
equilibrio: in un qualunque istante t3 ≥ t2 la soluzione può staccarsi dall’equilibrio per
seguire la parabola cubica x(t) = (t − t3 )3 /27 . L’evoluzione nel futuro è determinata
in modo univoco solo per i dati iniziali x0 > 0. Ma in questo caso è il passato che non
1/3
è univoco per i tempi precedenti l’istante t4 = −3x0 < 0 , quando la soluzione si è
staccata dell’equilibrio.
2.2.3 La condizione di Lipschitz
Alla luce dell’ultimo esempio si può essere tentati di concludere che la non differenziabilità del secondo membro sia sufficiente a far cadere l’unicità della soluzione. Il
prossimo esempio mostra che la situazione è più complessa.
Consideriamo l’equazione
(2.10)
ẋ = |x| .
Introduzione alle equazioni differenziali ordinarie
29
Figura 2.7. Le soluzioni dell’equazione ẋ = |x|.
Anche qui la funzione al secondo membro è non differenziabile per x = 0, ed ammette la soluzione stazionaria x(t) = 0. Ricorrendo ancora una volta alla formula di
quadratura (2.6) si trova che le soluzioni per x0 6= 0 sono
x0 e−t
per x0 < 0 ,
x(t) =
x0 et
per x0 > 0 .
Si vede dunque che in questo caso l’unicità della soluzione del problema di Cauchy è
assicurata. L’andamento delle soluzioni è rappresentato in figura 2.7.
Cosa distingue i due esempi precedenti? Entrambi hanno secondi membri continui,
e per entrambi non esiste la derivata del secondo membro nell’origine. Tuttavia, insistendo nel ricercare condizioni di regolarità del secondo membro che possano garantire
l’unicità della soluzione dell’equazione differenziale, possiamo osservare che la perdita
di regolarità si verifica in modo ben diverso nei due casi esaminati. Nel primo caso la
derivata non esiste perché il rapporto incrementale diverge, mentre nel secondo caso il
rapporto incrementale ha limiti destro e sinistro distinti, ma si mantiene limitato. La
chiave del problema dell’unicità è proprio questa: un problema di Cauchy ha soluzione
unica nell’intorno di un certo istante iniziale se nell’intorno del corrispondente valore
iniziale il secondo membro dell’equazione ha rapporto incrementale limitato. In altre
parole: l’incremento di f in modulo deve essere controllato dall’incremento di x:
f (x2 ) − f (x1 ) ≤ K|x2 − x1 | ,
(2.11)
questo per una opportuna costante positiva K e per ogni x1 , x2 in un intorno di x0 .
La condizione (2.11) viene detta di Lipschitz, e le funzioni f che la soddisfano
nell’intorno di ogni punto del loro insieme di definizione, eventualmente con costanti
differenti, vengono dette localmente lipschitziane. La funzione si dice invece lipschitziana se la condizione di Lipschitz è soddisfatta (con una stessa costante) in tutto
il suo insieme di definizione.
Vedremo più avanti che la condizione di Lipschitz, eventualmente adattata in
30
Capitolo 2
modo opportuno al caso non autonomo9 sarà un ingrediente fondamentale nel teorema
di esistenza e unicità per il problema di Cauchy. Anzi, anticipiamo sin d’ora che, mentre
la continuità di f garantisce la sola esistenza locale della soluzione, la condizione di
Lipschitz ne garantisce l’unicità.
Esercizio 2.1:
Provare che se f è di classe C 1 su un aperto G di Rn , ovvero
è continua ed ammette tutte le derivate parziali continue, essa è anche localmente
lipschitziana in G . (Suggerimento: usare il teorema del valor medio di Lagrange).
2.2.4
Un esempio di non prolungabilità per tutti i tempi
Come ultimo esempio consideriamo l’equazione
ẋ = x2 .
(2.12)
La formula di quadratura (2.6) dà la soluzione
x0
,
x(t) =
1 − x0 t
che include come caso particolare anche la soluzione stazionaria x(t) = 0 ottenuta
sostituendo il dato iniziale x0 = 0. Per fissato x0 la soluzione è evidentemente unica,
ma si osserva subito che essa tende all’infinito nel punto t = x10 . In particolare se il
dato iniziale è assegnato ad un tempo iniziale t0 < x10 la soluzione diverge in un tempo
finito (pari a t = x10 − t0 ) nel futuro; mentre se il tempo iniziale è t0 > x10 , la soluzione
diverge in un tempo finito nel passato. Cade dunque, in questo caso, la prolungabilità
delle soluzioni per tutti i valori reali di t: la crescita troppo rapida del secondo membro,
valutato sulla soluzione, provoca un comportamento di tipo esplosivo dell’evoluzione.
I comportamenti studiati negli ultimi esempi sono particolarmente significativi,
sia concettualmente che tecnicamente. La non unicità, in particolare, confligge con il
paradigma deterministico dal quale siamo partiti, ed al quale per il momento vogliamo
rimanere legati nella descrizione dell’evoluzione dei fenomeni. Essa corrisponde alla circostanza che lo stato presente non determina il passato o il futuro: evoluzioni distinte,
e persino infinite evoluzioni, sono possibili anche a partire da modelli semplici come
quello cubico che abbiamo analizzato. La questione della prolungabilità per tutti i
tempi della soluzione, che corrisponde al fatto che il sistema “vive” per un tempo
limitato, o da un tempo limitato, è soprattutto (ma non sempre) un aspetto tecnico,
che spesso può essere rimandato ad una migliore definizione del modello in esame.
2.3
Sistemi non autonomi
Veniamo ora a considerare qualche caso che rientri nella classe dei sistemi non autonomi, descritti cioè da equazioni della forma
(2.13) .
9
ẋ = f (x, t)
Nel caso non autonomo è sufficiente richiedere che la condizione di Lipschitz per f (t, x)
sia uniforme in t, ossia che valga la diseguaglianza (2.11) con K indipendente da t.
Introduzione alle equazioni differenziali ordinarie
31
Assumeremo anche qui che la funzione f (x, t) sia almeno continua in un aperto D ⊂
R2 del piano (t, x). Si osservi bene che in questo caso non sarà possibile, data una
soluzione, ricavarne altre per traslazione: dovremo dunque esaminare in dettaglio il
problema di Cauchy considerando condizioni iniziali della forma generale x(t0 ) = x0 ,
con (t0 , x0 ) ∈ D .
2.3.1
Equazioni lineari
Una classe interessante è costituita dalle equazioni lineari. Si tratta di quelle equazioni
in cui la variabile x compare solo come monomio di primo grado. In altre parole,
avremo f (x, t) = λ(t)x + b(t), con due funzioni note λ(t) e b(t).
Il più semplice esempio di equazione differenziale lineare è ẋ = λx , in cui λ è
costante; ne abbiamo già discusso nei paragrafi precedenti. Di poco più complesso è
il caso dell’equazione ẋ = λx + b con una costante b 6= 0. Lo lasciamo al lettore come
esercizio, tenuto conto che si tratta comunque di un caso particolare rispetto a quelli
che passiamo immediatamente a considerare.
Supponiamo dunque che il parametro λ dipenda dal tempo t, e in un primo
momento supponiamo anche che sia b(t) = 0. Avremo dunque l’equazione, detta lineare
omogenea,
(2.14)
ẋ = λ(t)x .
Vediamo subito che x(t) = 0 è una soluzione stazionaria: per verificarlo basta sostituirla nell’equazione. Considerando il dato iniziale x0 6= 0 si può riscrivere l’equazione
nella forma
dx
= λ(t)dt .
x
Integrando ambo i membri, e tenendo anche conto della condizione iniziale x(t 0 ) = x0 ,
ricaviamo
Z t
Z x
dξ
λ(τ ) dτ .
=
(2.15)
t0
x0 ξ
Ancora una volta, dunque, abbiamo scritto una soluzione per quadrature. In effetti, il
primo termine si integra direttamente – è ciò che abbiamo già fatto:
Z t
ln |x| − ln |x0 | =
λ(τ ) dτ ;
t0
anche qui dobbiamo ricordare che x ed x0 devono avere lo stesso segno. Risolvendo
rispetto ad x abbiamo
Z t
λ(τ ) dτ ;
(2.16)
x(t) = x0 exp
t0
Il calcolo esplicito della soluzione richiede una seconda quadratura.
Veniamo ora all’equazione
(2.17)
ẋ = λ(t)x + b(t) ,
32
Capitolo 2
detta lineare non omogenea perché vi compare un termine indipendente da x.
Rimuovendo il termine b(t) si ottiene l’equazione detta omogenea associata, che
abbiamo già discusso. La soluzione generale dell’equazione completa si ottiene cercandone una qualunque soluzione particolare, e sommandole la soluzione generale
dell’omogenea associata.10 Vediamo dunque come trovare una soluzione particolare:
discuteremo due schemi diversi.
(i) Il metodo della variazione delle costanti, dovuto a Lagrange. Nella soluzione (2.16)
dell’equazione omogenea associata alla (2.17) compare la costante x0 – di fatto il
dato iniziale. Si congettura che la soluzione dell’equazione completa possa ritrovarsi
semplicemente ammettendo che la costante x0 debba essere sostituita da una funzione
di t. In altre parole, si cerca una soluzione della forma
Z t
(2.18)
x(t) = u(t) exp
λ(τ ) dτ ,
t0
dove u(t) è una funzione da determinarsi. Occorre dunque ricavare un’equazione
per u(t), e per questo si sostituisce la forma cercata della soluzione direttamente
nell’equazione. Si calcola11
Z t
λ(τ ) dτ
ẋ(t) = u̇(t) + u(t)λ(t) exp
t0
e si sostituiscono questa espressione e la (2.18) nell’equazione (2.17), ottenendo
Z t
Z t
λ(τ ) dτ + b(t) .
λ(τ ) dτ = u(t)λ(t) exp
u̇(t) + u(t)λ(t) exp
t0
t0
Dunque, la (2.18) è soluzione a condizione che u(t) soddisfi l’equazione differenziale
Z t
u̇ = b(t) exp −
λ(τ ) dτ .
t0
Il membro di destra ha un aspetto un po’ complicato, ma si tratta pur sempre di una
funzione nota della sola variabile t, ove si supponga di aver calcolato l’integrale. Abbiamo dunque un’equazione della forma discussa nel paragrafo 2.1.1, di cui sappiamo
10
Questa è una nota proprietà generale delle equazioni lineari, che il lettore dovrebbe già
conoscere almeno nell’ambito delle equazioni algebriche su spazi vettoriali di dimensione
finita. Nel caso che stiamo trattando si può ragionare
come segue. Si riscrive l’equazione
d
nella forma Dx = b(t), dove D = dt
− λ(t) è un operatore che agisce sullo spazio
delle funzioni x(t) differenziabili. Si verifica che si tratta di un operatore lineare (farlo
per esercizio). In quanto operatore lineare, D ammette un nucleo formato dalle funzioni
che soddisfano Dx = 0, e questa è l’equazione omogenea. La soluzione dell’equazione
completa può dunque contenere un termine additivo arbitrario che appartenga al nucleo
di D.
11
Si ricordi che
d
dt
Rt
t0
λ(τ ) dτ = λ(t).
Introduzione alle equazioni differenziali ordinarie
33
calcolare la soluzione grazie alla formula di quadratura (2.3). La soluzione si scrive12
Z τ
Z t
λ(s) ds dτ
b(τ ) exp −
(2.19)
u(t) =
t0
t0
Il calcolo di u(t) richiede una seconda quadratura. Inserendo la funzione u(t) cosı̀
calcolata nella (2.18) si trova la soluzione cercata.
Potremmo ora scrivere la soluzione generale dell’equazione (2.17) sommando alla
soluzione trovata la soluzione generale dell’equazione omogenea. Se però il nostro fine è
risolvere il problema di Cauchy con una condizione iniziale x(t 0 ) = x0 non ne abbiamo
bisogno: di questo si è già tenuto conto nel procedimento stesso, fissando gli estremi
di integrazione.
(ii) Il metodo del fattore integrante. Riscriviamo l’equazione (2.17) moltiplicandone
ambo i membri per una funzione incognita ϕ(t), che supporremo non nulla, ed abbiamo
(2.20)
ϕ(t)[ẋ − λ(t)x] = b(t)ϕ(t) ,
equivalente alla precedente. Cerchiamo ora di determinare l’incognita ϕ(t) in modo
che il membro di sinistra risulti essere la derivata rispetto al tempo di una funzione
che siamo in grado di determinare, e che indicheremo con F (x, t). Se ciò fosse pos= b(t)ϕ(t), dove il termine di
sibile, potremmo anche riscrivere l’equazione come dF
dt
destra sarebbe una funzione nota del tempo, e dunque la soluzione sarebbe ricondotta
ad una quadratura. Questo giustifica il nome fattore integrante dato alla funzione
ϕ(t). Vediamo dunque come si possa determinare F (x, t). Confrontando l’espressione
dF
= ∂F
ẋ + ∂F
col membro di sinistra dell’equazione (2.20) vediamo subito che
dt
∂x
∂t
F (x, t) dovrà essere lineare in x, ovvero F (x, t) = ϕ(t)x, e che ϕ(t) dovrà soddisfare
l’equazione lineare omogenea ϕ̇ = −λ(t)ϕ . Di questa conosciamo già la soluzione
Rt
ϕ(t) = exp − t0 λ(s)ds , e non ci resta che sostituirla nella (2.20) ed eseguire una
seconda quadratura per ritrovare la soluzione ottenuta col metodo di variazione delle
costanti.
2.3.2
Le equazioni di Bernoulli
Le equazioni lineari sono semplici da risolvere, ed il loro interesse risiede in buona
parte nel fatto che esse forniscono, come vedremo, il comportamento qualitativo di
soluzioni di equazioni non lineari almeno in prossimità delle soluzioni di equilibrio.
C’è una motivazione ulteriore: alcune equazioni non lineari, si possono ridurre alla
forma lineare mediante una trasformazione non lineare dell’incognita. Appartengono a
12
Occorre un po’ di attenzione. Sotto il segno di integrale della formula (2.3) deve
comparire
una funzione
dell’indice di somma τ ; dunque nell’integrale che compare in
exp −
Rt
t0
λ(τ ) dτ
occorre cambiare l’estremo superiore di integrazione in τ , in modo
che il risultato sia una funzione di τ , e non di t. Per consistenza, in quest’ultimo integrale si cambierà il nome dell’indice di somma; qui abbiamo usato s. La funzione di τ
che risulta dal calcolo dell’integrale e dell’esponenziale dovrà essere moltiplicata per la
funzione b(τ ) e nuovamente integrata.
34
Capitolo 2
questa classe le cosiddette equazioni di Bernoulli13 [5]. Sono queste le equazioni della
forma
ẋ = λ(t)x + µ(t)xα ,
dove i coefficienti λ e µ sono funzioni continue del tempo almeno in uno stesso intervallo
aperto I ⊂ R, e α è un numero reale.14
Veniamo ora al procedimento di risoluzione, dovuto a Leibniz [44]. Osserviamo
preliminarmente che se α = 0 oppure α = 1 l’equazione è lineare; escludiamo quindi
questi casi. Eseguiamo il cambiamento di funzione incognita
u = x1−α ;
da questo, derivando, si ottiene u̇ = (1 − α)x−α ẋ, e sostituendo nell’equazione per x(t)
si ricava l’equazione corrispondente per u(t)
u̇ = (α − 1)λ(t)u + (α − 1)µ(t) .
Questa è una equazione lineare, che possiamo ben risolvere coi metodi che ormai conosciamo. Potremo poi tornare alla variabile precedente x(t) mediante la trasformazione
inversa
1
x(t) = [u(t)] 1−α .
L’esistenza almeno locale della soluzione è garantita dalla regolarità del secondo membro.
Esercizio 2.2:
Verificare che per ogni α ∈ R la funzione f (t, x) = λ(t)x + µ(t)xα
è localmente lipschitziana in I × R+ ∪ I × R− , dove I è l’intervallo di continuità dei
coefficienti. Per α ≥ 0 la funzione f è localmente lipschitziana in tutto I × R.
Resta da discutere se la soluzione sia unica, e se sia anche prolungabile indefinitamente nel tempo. Dal momento che la soluzione dell’equazione di Bernoulli è stata
ricondotta a quella di un’equazione lineare, sembra spontaneo concludere che debbano
valere ambedue queste proprietà. In effetti, ciò è vero per le soluzioni dell’equazione
lineare: questo segue esaminando il procedimento di costruzione delle soluzioni, o più
semplicemente la formula finale che le esprime. Il problema è nel legame tra la nuova
variabile introdotta per risolvere l’equazione e la variabile originaria nell’equazione
di Bernoulli: si tratta infatti di una relazione non lineare, che può ben introdurre
13
Jakob Bernoulli, nato a Basilea, 27 dicembre 1654; morto a Basilea, 16 agosto 1705.
14
Se proprio vogliamo trovare una giustificazione, possiamo figurarci un sistema concreto
descritto da equazioni di questo tipo se immaginiamo una generalizzazione della crescita
logistica per una popolazione nella quale la competizione sociale dovuta alla sovrappopolazione sia data da una legge a potenza con esponente α generico, e con un coefficiente e
tassi di natalità e mortalità che dipendano dal tempo in modo noto. Si pensi ad esempio
a una popolazione animale nelle condizioni di regolazione create artificialmente in un allevamento. Si ricordi però che l’equazione fu concepita da Bernoulli come pure problema
matematico, senza fare riferimento ad alcun modello specifico. Del resto, pretendere che
un problema matematico trovi giustificazione in qualche applicazione è un atteggiamento
purtroppo diffuso, ma privo di giustificazione.
Introduzione alle equazioni differenziali ordinarie
35
delle singolarità. Discutiamo in dettaglio questi due punti, prima con considerazioni
di carattere generale, e poi con due esempi.
La prima considerazione riguarda la perdita di unicità. Se α ≥ 0 la funzione
identicamente nulla è soluzione dell’equazione, corrispondente al dato iniziale x 0 = 0.
L’unicità della soluzione stazionaria implicherebbe alcune conseguenze: per α reale generico le altre soluzioni sarebbero sempre positive;15 per α razionale con denominatore
dispari (ed in particolare per α intero) le altre soluzioni potrebbero essere positive o
negative a seconda del segno del dato iniziale, ma non potrebbero cambiare segno.
L’unicità della soluzione stazionaria non è però garantita: in generale essa viene a
mancare per il dato iniziale se 0 < α < 1 .
La seconda considerazione riguarda la prolungabilità della soluzione. È sufficiente
1
< 0 e la soluzione x(t) può divergere a seconda dei dati
prendere α > 1, cosicché 1−α
iniziali (t0 , x0 ) scelti. Questo comporta la presenza, fra le soluzioni delle equazioni di
Bernoulli, di caratteristiche singolarità mobili (cioè dipendenti solo dai dati iniziali
e non dai coefficienti dell’equazione) che si manifestano come asintoti verticali nel
grafico delle soluzioni. In altre parole, la soluzione non esiste per tutti i tempi, ma ha
un tempo di vita limitato nel passato o nel futuro.
Come primo esempio consideriamo il problema di Cauchy
1
ẋ = x − tx 3 ,
x(t0 ) = x0 ,
1
sicché α = 1/3. La funzione f (t, x) = x − tx 3 è regolare in tutto il piano privato
della retta x = 0, e in particolare essa è localmente di classe Lipschitz. Pertanto la
soluzione locale del problema di Cauchy proposto esiste ed è unica a condizione che
il valore iniziale x0 non sia nullo. La soluzione si determina esplicitamente mediante
2
la trasformazione u(t) = [x(t)] 3 . L’equazione lineare per u diventa u̇ = 23 u − 32 t, ed
ammette la soluzione generale
u(t) =
3
2
2
+ Ce 3 t + t ,
con C costante arbitraria reale. Ne segue che
q
3
3
2
3
2
3t + t
x(t) = [u(t)] =
+
Ce
.
2
dove la costante arbitraria è data in termini dei dati iniziali da
2
2
C = x03 − 32 − t0 e− 3 t0 .
Ora, la funzione identicamente nulla, x(t) = 0 è soluzione dell’equazione corrispondente al dato iniziale x0 = 0. D’altra parte si ottiene un’altra soluzione definendo
(
0
per t < t0 ,
q
x(t) =
3
2 3
+ t − 23 + t0 e 3 t
per t ≥ t0 .
2
Per t ≥ t0 tale funzione coincide con la soluzione generale nella quale si è posto x 0 = 0 ,
e si raccorda in modo regolare in t = t0 con la funzione nulla, sicché risulta essere di
15
Si ricordi che le potenze reali sono definite solo per argomenti positivi.
36
Capitolo 2
classe C 1 (R) . Viene dunque a cadere l’unicità della soluzione in corrispondenza ai dati
con valore iniziale nullo, ovvero dove viene a mancare la proprietà di Lipschitz per il
secondo membro dell’equazione.
Come esempio di non prolungabilità studiamo il problema di Cauchy
ẋ = −tx + t3 x3 ,
x(t0 ) = x0 .
In questo caso α = 3 e la trasformazione u(t) = [x(t)]−2 riporta l’equazione alla forma
2
lineare u̇ = 2tu − 2t3 , la cui soluzione generale è data da u(t) = Cet + t2 + 1 .
Otteniamo dunque
1
,
x(t) = √
2
t
Ce + t2 + 1
dove C è una costante dipendente dai dati iniziali. Imponendoli si trova
2
1
2
C=
− t0 − 1 e−t0 .
2
x0
2
Ora, con uno studio grafico del segno della funzione h(t) = Cet + t2 + 1 si riconosce
che la soluzione x(t) è definita per tutti i tempi per C ≥ 0 e C < −1, mentre ha un
intervallo limitato di esistenza per −1 < C < 0. Questa seconda possibilità si realizza
effettivamente in corrispondenza ad opportune scelte del dato iniziale; ad esempio, se
2
si sceglie x0 = t10 , si ha C = −e−t0 ∈ (−1, 0) .
Esercizio 2.3:
Si studi il problema di Cauchy
ẋ = tx2 − 2tx ,
2.3.3
x(t0 ) = x0 .
Le equazioni a variabili separabili
Abbiamo utilizzato spesso, nelle pagine precedenti, il metodo di separazione delle
variabili. Vediamolo ora nel caso generale. Si dicono a variabili separabili le equazioni
della forma
(2.21)
ẋ = f (x)g(t) .
Anche per esse è possibile cercare punti di equilibrio risolvendo l’equazione f (x) = 0.
Se un tale punto esiste, allora x(t) = x è una soluzione stazionaria.
Supponiamo ora che sia f (x0 ) 6= 0, e imponiamo ancora una volta il dato iniziale
x(t0 ) = x0 . Ricorrendo al procedimento della separazione delle variabili, scriviamo
l’equazione sotto la forma
dx
= g(t) dt ,
f (x)
e integrando ambo i membri otteniamo una soluzione per quadrature
Z x
Z t
dξ
g(τ ) dτ .
=
x0 f (ξ)
t0
Anche in questo caso è possibile in linea di principio ottenere la soluzione localmente
nell’intorno di t0 tramite un’inversione della funzione integrale a primo membro, lecita
grazie al segno costante della funzione integranda; ma si tratta in generale di una
Introduzione alle equazioni differenziali ordinarie
37
inversione locale, e inoltre solo in casi eccezionali è possibile eseguirla esplicitamente,
dato che la classe di primitive note è molto esigua.
Esempio 2.1: L’orologio di Leibniz Il metodo di soluzione delle equazioni a variabili separabili è dovuto a Leibniz. Egli amava, come molti, giocherellare con il
proprio orologio da taschino, che faceva scivolare sulla scrivania trascinandolo per
un estremo della catenella. Qual è la traiettoria dell’orologio, se fisso la traiettoria
dell’anellino all’estremità della catenella? Questo problema conduce in generale ad
una equazione a variabili separabili. Proviamo a risolverlo nel caso semplice in cui
l’anellino si muova lungo una retta, diciamo l’asse y del piano cartesiano, e la catenella
sia lunga a. Sia (x, y) la posizione (del centro) dell’orologio. Allora la richiesta è che
la tangente alla curva tracciata dall’orologio sia sempre diretta come la congiungente
l’orologio con l’anellino che si muove sull’asse y. Questa condizione si traduce (esercizio!) nell’equazione differenziale a variabili separabili
√
a2 − x2
′
,
y (x) = −
x
la cui soluzione fornisce la traiettoria dell’orologio di Leibniz, e di altri analoghi problemi di trascinamento. La determinazione della forma esplicita della curva descritta
dalla soluzione, detta espressivamente trattrice, è lasciata al lettore.
Esercizio 2.4:
Studiare le soluzione del seguente problema di Cauchy al variare
del dato iniziale x0
p
ẋ = 1 − x2 , x(0) = x0 .
Prestare particolare attenzione ai casi x0 = 1, x0 = −1.
2.4
Soluzione per serie
L’utilità degli sviluppi in serie non si rivela solo nella costruzione di algoritmi di integrazione numerica. Si tratta in effetti di una tecnica usata da Cauchy per dimostrare
il teorema locale di esistenza ed unicità per le soluzioni delle equazioni differenziali,
sotto ipotesi di analiticità della funzione f (x, t).
2.4.1
Il metodo del confronto di coefficienti
Si tratta di un metodo proposto da Newton. Lo esponiamo qui riferendoci, per semplicità, al caso di un’equazione della forma
(2.22)
ẋ = f (x) ,
con secondo membro indipendente dal tempo.16
16
Tale scelta può apparire discutibile, tenuto conto che in questo caso conosciamo già la
formula di quadratura. Ma il metodo che esporremo si estende senza difficoltà al caso di
sistemi non autonomi o di sistemi di più equazioni. La scelta di considerare il caso di un
sistema autonomo in dimensione uno è dettata solo da motivi di semplicità.
38
Capitolo 2
In questo paragrafo ci limiteremo a considerare l’aspetto formale. In altre parole,
faremo uso di sviluppi in serie senza occuparci dei problemi di convergenza, trattando
le espressioni che scriveremo come se fossero polinomi.
Consideriamo dunque lo sviluppo in serie di una funzione nell’intorno di un punto
x0 ∈ R, ossia
X
(2.23)
f (x) = ϕ0 + ϕ1 (x − x0 ) + ϕ2 (x − x0 )2 + . . . =
ϕk (x − x0 )k ,
k≥0
dove i coefficienti ϕ0 , ϕ1 , ϕ2 , . . . sono da considerarsi noti. Assumeremo che sia ϕ0 6= 0.
In caso contrario infatti x0 sarebbe un punto di equilibrio, e quindi avremmo una
soluzione stazionaria.
Imponiamo la condizione iniziale x(0) = x0 , e cerchiamo una soluzione sviluppata
in serie del tempo, ossia
X
(2.24)
x(t) = x0 + α1 t + α2 t2 + . . . = x0 +
α k tk ,
k>0
dove i coefficienti α1 , α2 , . . . sono delle incognite da determinarsi in modo che x(t)
sia una soluzione dell’equazione (2.22). A tal fine dovremo sostituire lo sviluppo di
x(t) − x0 e la sua derivata ẋ(t) = α1 + 2α2 t + . . . nell’equazione, calcolando tutte le
potenze di x − x0 . Scriviamo esplicitamente tutti i termini fino alla potenza t4 :
α1 + 2α2 t + 3α3 t2 +4α4 t3 + 5α5 t4 + . . . =
ϕ0 +ϕ1 α1 t + α2 t2 + α3 t3 + α4 t4 + . . .
+ϕ2 α21 t2 + 2α1 α2 t3 + (2α1 α3 + α22 )t4 + . . .
+ϕ3 α31 t3 + 3α21 α2 t4 + . . .
+ϕ4 α14 t4 + . . .
Procediamo ora per confronto di coefficienti, ossia eguagliando i coefficienti delle stesse
potenze di t; otteniamo cosı̀ il sistema ricorrente di equazioni
α1 = ϕ0
2α2 = α1 ϕ1
(2.25)
3α3 = α2 ϕ1 + α21 ϕ2
4α4 = α3 ϕ1 + 2α1 α2 ϕ2 + α31 ϕ3
5α5 = α4 ϕ1 + (2α1 α3 + α22 )ϕ2 + 3α21 α2 ϕ3 + α41 ϕ4
... ... ... ...
Basta un po’ di riflessione per rendersi conto che l’equazione per i coefficienti di t s
avrà la forma
(2.26)
sαs = Ps (α1 , . . . , αs−1 , ϕ1 , . . . , ϕs−1 )
dove Ps (α1 , . . . , αs−1 , ϕ1 , . . . , ϕs−1 ) è un’espressione algebrica contenente monomi
Introduzione alle equazioni differenziali ordinarie
39
costruiti moltiplicando in modo opportuno gli argomenti.17 Il sistema permette, in
linea di principio, di determinare tutti i coefficienti dello sviluppo di x(t). In effetti,
la prima equazione dà α1 ; sostituendo il valore cosı̀ trovato nella seconda equazione si
determina α2 , e cosı̀ via, grazie al fatto che il termine di destra di ciascuna equazione
contiene solo dei coefficienti α che sono già stati determinati.
L’aspetto formale risulta dunque chiaro. Dobbiamo ora occuparci del problema
della convergenza. Ma per discuterlo occorre richiamare qualche proprietà delle serie
di potenze.
2.4.2
Una digressione: le serie di potenze e le funzioni analitiche.
La domanda che si pone è se una serie della forma
(2.27)
f (x) = a0 + a1 (x − x0 ) + a2 (x − x0 )2 + . . . =
X
k≥0
ak (x − x0 )k
dove a0 , a1 , . . . sono numeri reali, sia o no convergente. Ad una tale espressione si dà
il nome di serie di potenze. Non si perde di generalità se si assume x0 = 0, e quindi
faremo senz’altro riferimento a questo caso.
Lo studio della convergenza delle serie di potenze conduce in modo naturale a
considerare valori complessi delle variabili, e non solo numeri reali. Vale la seguente
P
Proposizione 2.4: Se la serie di potenze k≥0 ak xk converge per un fissato x =
ξ ∈ C allora è anche assolutamente convergente all’interno del cerchio di raggio |ξ| e
centro nel punto 0.
P
Dimostrazione. Se k≥0 ak ξ k è convergente allora esiste una costante reale positiva M tale che |ak ξ k | < M per k ≥ 0; ciò perché
generale della serie deve
Pil termine
k
tendere a zero. Sia ora |x| < |ξ|. Allora la serie k≥0 |ak x | è maggiorata dalla serie
k
P
geometrica convergente
M x/ξ , e quindi è essa stessa convergente.
Q.E.D.
k≥0
Vale anche l’affermazione opposta, ossia che se la serie di potenze (2.27) diverge
per un valore fissato x = ξ allora è divergente anche per |x| > |ξ|. Basta infatti osservare che se la serie convergesse per un x soddisfacente |x| > |ξ| allora convergerebbe
anche per x = ξ, per la proposizione che abbiamo appena dimostrato.
Se ne ricava facilmente la seguente
Proposizione 2.5: Per ogni serie di potenze esiste un numero reale R ≥ 0 tale che
la serie è assolutamente convergente per |x| < R ed è divergente per |x| > R. Nulla si
può affermare invece nel caso |x| = R.
17
Una riflessione più attenta permetterà anche di prevedere esattamente la forma di P s : il
fattore ϕk , con k = 1, . . . , s − 1, viene moltiplicato per la somma di monomi formata da
tutti i possibili prodotti di k coefficienti scelti tra α1 , . . . , αs−1 in modo che la somma
degli indici di ciascun monomio sia pari ad s − 1. Ad esempio, nell’equazione per α 5
il coefficiente ϕ1 moltiplica α4 , il coefficiente ϕ2 moltiplica α1 α3 + α2 α2 + α3 α1 , il
coefficiente ϕ3 moltiplica α1 α1 α2 + α1 α2 α1 + α2 α1 α1 , ed il coefficiente ϕ4 moltiplica
α1 α1 α 1 α1 .
40
Capitolo 2
Il numero R è detto raggio di convergenza della serie di potenze. I casi R = 0 (la
serie diverge per qualunque x ∈ C) o R = +∞ (la serie converge in tutto il piano
complesso) non sono esclusi. Per determinare il raggio di convergenza si può far uso
di una delle formule
p
1
= lim sup k |ak | ,
R
k→+∞
(2.28)
ak+1 1
.
= lim R k→+∞ ak Una funzione rappresentata da uno sviluppo in serie di potenze con raggio di convergenza positivo è detta funzione analitica.
2.4.3
Esempi di funzioni analitiche
Esempi tipici di serie di potenze sono gli sviluppi in serie di Taylor di funzioni che
abbiano infinite derivate.18 Ecco alcuni esempi comuni, che si trovano del resto nei
trattati di Analisi.
(i) La funzione esponenziale
ex = 1 + x +
X xk
x2
x3
+
+ ... =
,
2!
3!
k!
k≥0
che ha raggio di convergenza infinito, ed è dunque definita in tutto il piano
complesso.
(ii) Le funzioni trigonometriche seno e coseno
X (−1)k x2k+1
x3
x5
x7
sin x = x −
+
−
+... =
,
3!
5!
7!
(2k + 1)!
k≥0
cos x = 1 −
X (−1)k x2k
x4
x6
x2
+
−
+ ... =
,
2!
4!
6!
(2k)!
k≥0
anch’esse con raggio di convergenza infinito.
(iii) Il binomio di Newton
X q q 3
q 2
q
q
xk ,
x + ... =
x +
x+
(1 + x) = 1 +
k
3
2
1
k≥0
dove
q · (q − 1) · . . . · (q − k + 1)
q
=
,
k
k!
k≥0
è il coefficiente binomiale, ed q è un numero reale. Il raggio di convergenza
di questa serie è R = 1. Ciò si ricava rapidamente applicando la seconda
18
L’esistenza di infinite derivate è necessaria per scrivere lo sviluppo in serie, ma non assicura che la funzione sia analitica. Si veda poco più avanti l’esempio del paragrafo 2.4.4.
Introduzione alle equazioni differenziali ordinarie
41
delle (2.28):
1
= lim k→+∞
R
q − k
=1.
= lim k→+∞ k + 1 q
k+1
q
k
Alcuni casi di uso comune, che passiamo ad elencare singolarmente, rientrano in quello
generale della serie del binomio di Newton.
(iv) La serie geometrica, con la corrispondente a segni alterni
X
1
= 1 + x + x 2 + x3 + . . . =
xk ,
1−x
k≥0
X
1
= 1 − x + x 2 − x3 + . . . =
(−1)k xk .
1+x
k≥0
(v) La serie della radice e la sua inversa19
√
1
1+x=1+ x−
2
1
1
√
=1− x+
2
1+x
2.4.4
1 2
x +
2·4
1·3 2
x −
2·4
1·3 3
x −
2·4·6
1·3·5 3
x +
2·4·6
1·3·5 4
x + ...
2·4·6·8
1·3·5·7 4
x − ...
2·4·6·8
Funzioni con infinite derivate, ma non analitiche
Gli esempi appena riportati inducono a pensare che qualunque funzione che in un
punto ammetta infinite derivate si possa rappresentare mediante uno sviluppo in serie di potenze convergente nell’intorno di quel punto. Ciò è falso, come passiamo ad
illustrare con un paio di esempi classici.
Come primo esempio consideriamo
(
2
e−1/x
per x 6= 0 ,
(2.29)
f (x) =
0
per x = 0 .
La funzione risulta essere continua su tutto l’asse reale, incluso il punto x = 0. Calcolando le sue derivate si trova
2!
f (x)
x3
3!
2!
f ′′ (x) = − 4 f (x) + 3 f ′ (x)
x
x
4!
3!
2!
f ′′′ (x) =
f (x) − 2 4 f ′ (x) + 3 f ′′ (x)
5
x
x
x
5!
4!
3!
2!
f (4) (x) = − 6 f (x) + 3 5 f ′ (x) − 3 4 f ′′ (x) + 3 f ′′′ (x)
x
x
x
x
f ′ (x) =
19
Non è possibile sviluppare la funzione
infinita.
√
x intorno ad x = 0, perché ivi la sua derivata è
42
Capitolo 2
e cosı̀ via. Con uno sforzo di immaginazione si vede che la derivata di ordine n qualsiasi
si può calcolare mediante la formula ricorrente
n−1
X
(n)
n+1−j n − 1 (n + 1 − j)! (j)
f (x) ,
f (x) =
(−1)
xn+2−j
j
j=0
a partire dal primo termine f (0) (x) = f (x). La verifica della correttezza di questa
formula è un facile esercizio di dimostrazione per induzione. 20 Si verifica poi che per
ogni intero n ≥ 0 vale
2
e−1/x
=0.
lim
x→0
xn
A tal fine basta sostituire x = 1/u e ricordare che l’esponenziale cresce più rapidamente
di qualunque potenza. Con questa osservazione, e grazie all’espressione delle derivate
20
Per n = 1 si trova f (1) = (−1)2 00 x23 f (0) , che è l’espressione della derivata prima appena
calcolata. Per n > 1 si pone n − 1 al posto di n, e si trova
f
(n−1)
(x) =
n−2
X
(−1)
n−j
j=0
n − 2 (n − j)! (j)
f (x) .
xn+1−j
j
Derivando quest’ultima espressione si calcola
n−2
X
df (n−1)
n − 2 (n + 1 − j)! (j)
=
f (x)
(−1)n+1−j
dx
xn+2−j
j
j=0
+
n−2
X
n−j
(−1)
j=0
n − 2 (n − j)! (j+1)
f
(x) .
xn+1−j
j
Nella seconda somma si fa correre l’indice da 1 a n−1; ciò si ottiene sostituendo ovunque
j − 1 al posto di j, e si trova
n−2
X
df (n−1)
n − 2 (n + 1 − j)! (j)
=
f (x)
(−1)n+1−j
dx
xn+2−j
j
j=0
+
n−1
X
j=1
(−1)
n+1−j
n − 2 (n + 1 − j)! (j)
f (x) .
xn+2−j
j−1
Combiniamo ora le due somme, osservando che i termini comuni
corrispondenti
aj =
n−2
,
e
tenendo
conto
e
1, . . . , n − 2, differiscono solo per i coefficienti binomiali n−2
j−1
j
che
n−2
j
+
n−2
j−1
=
(n − 2)!
(n − 2)!
+
(n − 2 − j)! j!
(n − 1 − j)! (j − 1)!
(n − 1)!
=
=
(n − 1 − j)! j!
Si ottiene cosı̀ l’espressione di f (n) (x), e questo conclude l’induzione.
n−1
j
.
Introduzione alle equazioni differenziali ordinarie
43
appena calcolata, si conclude che f (n) (0) = 0 si conclude che la funzione f (x) è
derivabile infinite volte in x = 0, e che tutte le derivate sono continue su tutta la retta
reale. Dunque, lo sviluppo di Taylor in un intorno dell’origine ha coefficienti tutti nulli,
e definisce una funzione identicamente nulla su tutta la retta reale, ben diversa dalla
funzione f (x) che stiamo considerando.
Come secondo esempio consideriamo la funzione
Z +∞ −t/x2
e
dt .
(2.30)
f (x) =
1+t
0
Si tratta evidentemente di una funzione continua su tutto l’asse reale, pur di definire
f (0) = 0. Lo sviluppo in serie intorno a x = 0 si può costruire procedendo successivamente ad integrare per parti. Ecco uno schema utile.
Definiamo
Z +∞ −t/x2
e
dt ;
fn (x) =
(1 + t)n
0
anche questa è una funzione continua su tutto l’asse reale, pur di definire fn (0) = 0.
Con un’integrazione per parti troviamo la formula
Z +∞ −t/x2
Z +∞
2
2 +∞
e
e−t/x
x2 e−t/x 2
(2.31)
− nx
dt = −
dt
(1 + t)n
(1 + t)n (1 + t)n+1
0
0
0
Osservando che vale
2
e−t/x
=
lim
(1 + t)n
(
0
1
per t → 0 ,
per t → +∞
otteniamo subito la formula ricorrente
(2.32)
f1 (x) = f (x) ,
fn (x) = x2 − nx2 fn+1 (x) .
Applicando per ricorrenza questa formula si trova
f (x) = x2 − x2 f2 (x)
= x2 − x4 + 2x4 f3 (x)
= x2 − x4 + 2x6 − 3! x6 f4 (x)
= ...
e dopo n passi si può scrivere la formula, analoga a quella di Taylor,
(2.33)
f (x) = x2 − x4 + 2x6 − 3! x8 + 4! x10 − . . . + (−1)n (n − 1)! x2n + Rn (x) ,
dove
Rn (x) = n! x
2n
Z
0
+∞
2
nx2 e−t/x
dt .
(1 + t)n+1
Si conclude subito che la funzione f (x) possiede infinite derivate continue su tutto
l’asse reale, e che il suo sviluppo in serie di potenze si ottiene semplicemente mandando
44
Capitolo 2
n all’infinito nella (2.33). Ma basta applicare il primo dei criteri (2.28) per rendersi
conto che il raggio di convergenza di questa serie è nullo.
Il fatto interessante è che lo sviluppo non è affatto inutile. È interessante citare,
a questo proposito, un brano tratto dal secondo volume dei Méthodes Nouvelles di
Poincaré [59]. Vi si parla degli sviluppi in serie in uso nell’astronomia, tipicamente
divergenti ma comunque utili per il calcolo, e spesso applicati senza porsi il problema
della convergenza in termini rigorosi.21
« Il y a entre les géomètres et les astronomes une sorte de malentendu au
sujet de la signification du mot convergence. Les géomètres, préoccupés
de la parfaite rigueur et souvent trop indifférents à la longueur de calculs
inextricables dont ils conçoivent la possibilité, sans songer à les entreprendre effectivement, disent qu’ une série est convergente quand la somme des
termes tend vers une limite déterminée, quand même les premiers termes
diminueraient très lentement. Les astronomes, au contraire, ont coutume
de dire qu’ une série converge quand les vingt premiers termes, par exemple, diminuent très rapidement, quand même les termes suivants devraient
croı̂tre indéfiniment.
Ainsi, pour prendre un exemple simple, considérons les deux séries qui
21
“ Tra i geometri (oggi si direbbe piuttosto gli analisti, n.d.a.) e gli astronomi c’è un
certo malinteso sul significato del termine convergenza. I geometri, interessati al rigore
assoluto e spesso troppo indifferenti alla lunghezza dei calcoli inestricabili di cui concepiscono la possibilità, senza per questo sognarsi di intraprenderli davvero, dicono che una
serie è convergente se la somma dei termini tende ad un limite ben definito, e ciò anche
se i primi termini decrescono in modo estremamente lento. Gli astronomi, al contrario,
usano affermare che una serie converge se, diciamo, i primi venti termini diminuiscono
molto rapidamente, anche se i termini successivi crescono indefinitamente.
Cosı̀, per fare un semplice esempio, consideriamo le due serie che hanno come termine generale
n
 ·  · ...n
e
.
 ·  · ...n
n
I geometri diranno che la prima serie converge, e pure rapidamente, perché il milionesimo
termine è ben più piccolo del  o ; essi classificheranno invece la seconda serie come
divergente, perché il termine generale cresce oltre ogni limite.
Al contrario, gli astronomi considereranno la prima serie come divergente, perché i
primi  termini sono crescenti, mentre classificheranno la seconda serie come convergente perché i primi  termini decrescono, e all’inizio la diminuzione è molto rapida.
Ambedue le regole sono legittime: la prima nella ricerca teorica, la seconda nelle
applicazioni numeriche. Ambedue devono regnare, ma in domini separati da confini che
dovremmo conoscere in modo ben preciso.
......
Il primo esempio che abbia messo in evidenza la legittimità di certi sviluppi divergenti è quello classico della serie di Stirling. Cauchy ha mostrato che i termini di
quella serie prima decrescono, e poi iniziano a crescere, sicché la serie diverge; ma
arrestando il calcolo al termine più piccolo si rappresenta la funzione Euleriana con
un’approssimazione sempre migliore al crescere dell’argomento.“
Introduzione alle equazioni differenziali ordinarie
45
ont pour terme général
n
 ·  · ...n
et
 ·  · ...n
.
n
Les géomètres diront que la première série converge, et même qu’ elle converge rapidement, parce que le millionième terme est beaucoup plus petit
que le  e ; mais ils regarderont la seconde come divergente, parce que
le terme général peut croı̂tre au delà de toute limite.
Les astronomes, au contraire, regarderont la première série comme divergente, parce que les  premiers termes vont en croissant; et la seconde
comme convergente, parce que les  premiers termes vont en décroissant
et que cette décroissance est d’ abord très rapide.
Les deux règles sont légitimes : la première, dans les récherches
théoriques; la séconde, dans les applications numériques. Toutes deux
doivent régner, mais dans deux domaines séparés et dont il importe de
bien connaı̂tre les frontières.
......
Le premier exemple qui a montré clairement la légitimité de certains
développements divergentes est l’ exemple classique de la série de Stirling.
Cauchy a montré que les termes de cette série vont d’ abord en décroissant,
puis en croissant, de sorte que la série diverge; mais si l’ on s’ arrête au terme
le plus petit, on répresente la function eulérienne avec une approximation
d’ autant plus grande que l’ argument est plus grand. »
La serie che abbiamo costruito sopra è del tipo descritto da Poincaré. Ne facciamo
uso per riesporre in termini quantitativi l’ultima frase della citazione. La formula (2.33)
è esatta, e ci consente comunque di calcolare il valore della funzione f (x) a meno del
resto Rn (x). Se poi valutiamo il resto troviamo
Z +∞
2
2n
e−t/x dt = n! x2n .
|Rn (x)| < n! x
0
Osserviamo che se fissiamo x e facciamo crescere n il resto prima decresce, ed anche
rapidamente, fin che n < 1/x2 , poi inizia a crescere in modo esplosivo. Se dunque
tronchiamo lo sviluppo al più al termine n = 1/x2 possiamo calcolare il valore della
funzione con una precisione che diventa particolarmente buona quando x diventa molto
piccolo. Serie di questo tipo si chiamano asintotiche, e pur essendo divergenti sono di
grande utilità nel calcolo numerico.
2.4.5
Proprietà delle serie di potenze
Veniamo infine alle proprietà delle serie di potenze di cui faremo uso in seguito, rimandando ai testi di Analisi per le dimostrazioni.
Proposizione 2.6:
Sia
f (x) =
X
k≥0
a k xk
46
Capitolo 2
la funzione analitica definita da una serie di potenze con raggio di convergenza R > 0.
Allora:
(i) f (x) è funzione continua nell’intervallo aperto (−R, R) ⊂ R;
(ii) f (x) ammette infinite derivate, che possono essere calcolate derivando la serie
termine a termine; la serie delle derivate ha anch’essa raggio di convergenza R;
(iii) f (x) può essere integrata termine a termine, e la serie risultante ha anch’essa
raggio di convergenza R.
P
(iv) se per una seconda funzione analitica g(x) = k≥0 bk xk vale g(x) = f (x) per
|x| < R′ , con 0 < R′ ≤ R, allora le due rappresentazioni in serie per f (x) e g(x)
coincidono.
La proprietà (iii) risulta utile per determinare lo sviluppo in serie di alcune funzioni. Ad esempio, usando gli sviluppi riportati sopra si possono calcolare le serie del
logaritmo, dell’arcotangente e dell’arcoseno:
Z
1
1
1
dx
= x − x2 + x3 − x4 + · ,
ln(1 + x) =
1+x
2
3
4
Z
dx
1
1
1
1
arctan x =
= x − x3 + x5 − x7 + x9 + . . . ,
2
1+x
3
5
7
9
Z
1·3 5
1·3·5 7
1 3
dx
√
x +
x +
x + ... .
=x+
arcsin x =
2
2·3
2·4·5
2 · ·4 · 6 · 7
1−x
2.4.6
Il metodo delle maggioranti di Cauchy
Siano date due serie di potenze formali
X
f (x) =
ak xk ,
k≥0
g(x) =
X
b k xk .
k≥0
Diremo che la serie g(x) è maggiorante di f (x), e scriveremo f ≺ g, se i coefficienti
soddisfano |ak | ≤ bk per ogni k ≥ 0. Ciò implica, naturalmente, bk ≥ 0.
Dalla definizione si deducono facilmente seguenti le proprietà.
(i) Se f1 ≺ g1 e f2 ≺ g2 allora f1 + f2 ≺ g1 + g2 , e f1 f2 ≺ g1 g2 .
(ii) Se f ≺ g allora
Z x
Z x
dg
df
≺
,
f (ξ) dξ ≺
g(ξ) dξ .
dx
dx
0
0
Tutte le operazioni vanno intese in senso formale. In particolare, è essenziale nella
proprietà (ii) che il limite inferiore di integrazione sia zero, cioè che non vengano
aggiunte costanti arbitrarie.
La proprietà rilevante ai fini della convergenza è espressa dal seguente
Lemma 2.7: Sia f ≺ g, e supponiamo che g(x) abbia raggio di convergenza R > 0.
Allora f (x) ha raggio di convergenza non inferiore a R.
La facile dimostrazione è lasciata al lettore.
P
È degno di nota il fatto che data una serie f (x) = k≥0 convergente in un cerchio
di raggio R > 0 si possa costruire in modo semplice una serie maggiorante, ricorrendo
alla serie geometrica. Ciò è garantito dal seguente
Introduzione alle equazioni differenziali ordinarie
47
P
Lemma 2.8: Sia f (x) = k≥0 convergente in un cerchio di raggio R > 0. Allora
per ogni r soddisfacente 0 < r < R si può determinare M > 0 tale che la serie
g(x) =
XM
xk
rk
k≥0
sia maggiorante di f (x).
Dimostrazione. Per la proposizione 2.4 la serie f (x) èPassolutamente convergente
per ogni x soddisfacente |x| = r, il che significa che la serie k≥0 |ak |r k è assolutamente
convergente. Allora si può determinare M > 0 tale che |ak |r k < M per ogni k ≥ 0.
Dunque vale |ak | ≤ M/r k .
Q.E.D.
Corollario 2.9:
Nelle condizioni del lemma 2.8, per ogni |x| < r vale
|f (x)| ≤
M
.
1 − |x|/r
La dimostrazione è un’applicazione diretta del metodo delle maggioranti di Cauchy
per le serie numeriche e dell’espressione della somma della serie geometrica.
2.4.7
Il teorema di esistenza ed unicità di Cauchy
Ora siamo in grado di dimostrare il teorema di Cauchy sull’esistenza ed unicità delle
soluzioni per equazioni differenziali ẋ = f (x) con secondo membro analitico. Assumiamo per semplicità che f (x) sia sviluppata in serie intorno al punto x = 0, ma il
risultato vale per qualunque punto x0 ove la funzione f non si annulli e sia analitica:
è solo una questione di traslazione.
P
Teorema 2.10: Sia f (x) = k≥0 ϕk xk , con f (0) = ϕ0 6= 0, analitica in un cerchio
di raggio R > 0. Allora per ogni r soddisfacente 0 < r < R si può determinare M > 0
tale che valga la seguente affermazione: l’equazione ẋ = f (x) con condizione iniziale
r
x(0) = 0 ammette un’unica soluzione x(t) analitica almeno per |t| < 2M
, reale per
valori reali di t, e soddisfacente |x(t)| < r .
Sottolineiamo il fatto che l’enunciato del teorema ha valore locale, come illustrato in
figura 2.8. La prolungabilità della soluzione per tutti i tempi non è affatto assicurata.
La dimostrazione fa uso del seguente
P
P
k
Lemma 2.11: Siano f (x) =
ϕk xk e g(x) =
k≥0
k≥0 γk x due serie formali
P
P
soddisfacenti f ≺ g. Siano x(t) = k≥0 αk tk e y(t) = k≥0 βk tk le soluzioni formali
delle equazioni ẋ = f (x) e ẏ = g(y) soddisfacenti le condizioni iniziali x(0) = y(0) = 0,
costruite col procedimento del paragrafo 2.4, formule (2.25) e (2.26). Allora la soluzione
per g è maggiorante della soluzione per f , ossia vale x ≺ y.
Dimostrazione.
Per induzione. Scriviamo le espressioni dei coefficienti α k e βk
48
Capitolo 2
x
r
−r
2M
r
2M
1
0
0
1
0
1
t
−r
Figura 2.8. Ad illustrazione del teorema di esistenza ed unicità di Cauchy. Per
il punto iniziale t = 0, x = 0 passa una sola soluzione analitica, la cui esistenza è
r
garantita localmente nel rettangolo |t| < 2M
, |x| < r.
come si ricavano dalle formule (2.25) e (2.26):
α1 = ϕ0 ,
α1 ϕ1
,
α2 =
2
α2 ϕ1 + α21 ϕ2
α3 =
,
3
α3 ϕ1 + 2α1 α2 ϕ2 + α31 ϕ3
α4 =
,
4
... ...,
Ps (α1 , . . . , αs−1 , ϕ1 , . . . , ϕs−1 )
αs =
,
s
... ...,
β 1 = γ0 ,
β 1 γ1
β2 =
,
2
β2 γ1 + β12 γ2
β3 =
,
3
β3 γ1 + 2β1 β2 γ2 + β13 γ3
β4 =
,
4
... ...,
Ps (β1 , . . . , βs−1 , γ1 , . . . , γs−1 )
βs =
,
s
... ...,
Dalla prima riga, ricordando che |ϕ0 | ≤ γ0 , si ottiene immediatamente |α0 | ≤ β0 .
Benché non sia necessario ai fini dell’induzione si può verificare direttamente che dalle
righe successive si ricava |α1 | ≤ β1 , |α2 | < β2 , &c. Infatti, i termini noti nella colonna
di destra contengono solo somme e prodotti di quantità positive che sono maggioranti
delle corrispondenti quantità della colonna di sinistra. Per completare l’induzione basta
Introduzione alle equazioni differenziali ordinarie
49
osservare che le espressioni per βs e per αs sono costruite esattamente con lo stesso
polinomio, fatte le dovute sostituzioni. Supponendo che |αj | ≤ βj per j = 1, . . . , s−1 si
conclude immediatamente che la stessa relazione deve valere per j = s, il che completa
l’induzione.
Q.E.D.
Siamo ora in grado di completare la
Dimostrazione del teorema 2.10. Basta trovare una funzione maggiorante g(y)
per cui si sappia risolvere l’equazione in modo esplicito. Tale funzione è proprio quella
trovata nel lemma 2.8, ossia
X y k
M
=
.
g(y) = M
r
1 − y/r
k≥0
Infatti l’equazione ẏ =
M
1−y/r
ammette la soluzione
!
r
2M t
y(t) = r 1 − 1 −
,
r
che soddisfa la condizione iniziale22 y(0) = 0 . La funzione a destra ammette uno
r
, che per il lemma 2.11
sviluppo in serie di potenze in t con raggio di convergenza 2M
è maggiorante della soluzione dell’equazione ẋ = f (x) con dato iniziale x(0) = 0.
Dunque, la serie che rappresenta la funzione x(t) ha raggio di convergenza almeno pari
r
a quello della sua maggiorante y(t), ossia 2M
. All’interno del raggio di convergenza si
applica il corollario 2.9, per cui si ha
!
r
x(t) ≤ r 1 − 1 − 2M |t| < r .
r
I coefficienti dello sviluppo di x(t) costruiti mediante le formule (2.25) e (2.26) sono
reali, perché sono reali i coefficienti di f (x), e quindi x(t) a assume valori reali se t è
reale. Infine, le formule (2.25) e (2.26) determinano i coefficienti in modo univoco, e
quindi la soluzione è unica in virtù della proprietà (iv) della proposizione 2.6. Q.E.D.
2.5
Teoremi di esistenza ed unicità locale e globale
Veniamo infine al problema più generale di sistemi di equazioni differenziali. Consideriamo una funzione f (x, t) definita in Ω ⊂ Rn × R a valori in Rn e ivi continua. La
rappresentazione geometrica naturale per un tal sistema di equazioni differenziali si
ottiene considerando f (x, t) come un vettore applicato al punto x all’istante t assegnato. Diremo che in Ω abbiamo definito un campo vettoriale dipendente dal tempo.
Nel caso autonomo possiamo sostituire Ω con G × R, dove G ⊂ Rn è un aperto sul
quale è definito un campo vettoriale costante. La figura 2.9 ne dà un esempio nel caso
22
Si usa ancora la formula di quadratura (2.6), che diventa
1− 1−
y
r
2
Ry
0
1−
ξ
r
dξ = M t , ovvero
= 2M t . Risolvendo rispetto a y si ottiene la soluzione riportata nel testo.
50
Capitolo 2
y
0
x
Figura 2.9. I secondi membri di un’equazione differenziale autonoma in R 2
definiscono un campo vettoriale nel piano.
n = 2. La direzione del vettore f nel punto x dà la tangente alla curva che rappresenta
la soluzione delle equazioni. Con un’immagine geometrica suggestiva23 si può vedere
il campo vettoriale come generatore di un flusso che trasporta ciascun punto x in un
tempo t in un nuovo punto x(t).
Il problema ai valori iniziali o problema di Cauchy si formula come segue: assegnato (x0 , t0 ) ∈ Ω, determinare un intervallo aperto I = (t1 , t2 ) ⊂ R contenente t0
ed una funzione x di classe C 1 (I , Rn ) soddisfacente x(t0 ) = x0 , detta soluzione del
problema, tale che per ogni t ∈ I valga
x(t), t ∈ Ω , ẋ(t) = f x(t), t .
Il nostro scopo è dare informazioni sulla soluzione del problema di Cauchy per
un’equazione differenziale del primo ordine. Ci limiteremo ad esporre alcuni risultati
sull’esistenza, unicità e prolungabilità delle soluzioni, rimandando ai capitoli successivi una discussione più ampia. In linea di massima non riporteremo le dimostrazioni
degli enunciati: per queste e per altri approfondimenti rimandiamo ai testi di Analisi
Matematica, o ai trattati sulle equazioni differenziali, ad esempio [3] o [60].
2.5.1
Il teorema di esistenza ed unicità locale
Prima di formulare il teorema di esistenza e unicità, richiamiamo la definizione di
lipschitzianità.
Definizione 2.12: Sia Ω un aperto di Rn × R, e f : Ω → Rn .
(i) f si dice lipschitziana in x uniformemente rispetto a t se esiste un numero reale
23
Tale immagine può formalizzarsi in modo preciso fondandosi sul concetto di gruppo ad
un parametro di trasformazioni. Si veda ad esempio [3].
Introduzione alle equazioni differenziali ordinarie
51
K > 0 tale che
|f (x2 , t) − f (x1 , t)| < K|x2 − x1 |
∀(x1 , t), (x2 , t) ∈ Ω .
(ii) f si dice localmente lipschitziana in Ω uniformemente in t se ogni punto di Ω
possiede un intorno nel quale vale la diseguaglianza precedente, eventualmente
con costanti di Lipschitz diverse da punto a punto.
È utile la seguente
Proposizione 2.13: f ∈ C 1 (Ω, Rn ) implica f localmente lipschitziana in x uniformemente rispetto a t.
Veniamo ora all’enunciato del teorema di esistenza e unicità locale.
Teorema 2.14: Sia Ω ⊂ Rn × R un aperto, e sia f : Ω → Rn una funzione vettoriale
che soddisfi le proprietà:
(i) essere continua in Ω ;
(ii) essere localmente lipschitziana in x uniformemente rispetto a t .
Sia (x0 , t0 ) ∈ Ω un punto iniziale fissato. Allora esiste un intorno Iδ (t0 ) = [t0 −δ, t0 +δ]
ed un’unica funzione x : Iδ (t0 ) → Rn di classe C 1 (Iδ (t0 ), Rn ) che soddisfa il problema
di Cauchy
ẋ(t) = f (x(t), t) , x(t0 ) = x0 .
Abbiamo già visto la dimostrazione di questo teorema, sia pure per il caso semplificato
di una sola variabile dipendente, nella forma in cui venne dimostrato da Cauchy nei
primi anni venti del XIX secolo, sotto l’ipotesi di analiticità del secondo membro. La
dimostrazione sotto ipotesi di semplice regolarità fu completata sempre da Cauchy
qualche anno più tardi, in una forma alquanto differente da quella attuale. Il teorema
e la sua dimostrazione hanno acquistato una forma definitiva nei primi anni del XX
secolo, dopo un lavoro di perfezionamento durato alcuni decenni, e che ha richiesto i
contributi di matematici quali Lipschitz, Liouville, Picard, Peano.24
Non riportiamo la dimostrazione del teorema, tuttavia aggiungiamo le seguenti
osservazioni, rinviando ai testi di Analisi per i dettagli. L’interesse della prova del
teorema di esistenza ed unicità per il problema ai valori iniziali risiede nel fatto che
essa viene ricondotta ad un problema di punto fisso; ovvero ad un problema in cui è
assegnata una certa mappa T e si vogliono determinare le o la soluzione dell’equazione
T (x) = x. Il problema di Cauchy si riconduce ad un problema di punto fisso, perché,
come facilmente si riconosce, esso è equivalente al seguente: determinare una funzione
x di classe C 0 (I , Rn ) soluzione dell’equazione integrale (detta di Volterra di seconda
specie)
Z t
x(t) = x0 +
f (s, x(s))ds
t0 ∈ (t1 , t2 ) .
t0
24
Joseph Liouville, nato a Saint-Omer, Francia, 24 marzo 1809; morto a Parigi, 8 settembre
1882.
Charles Emile Picard, nato a Parigi, 24 luglio 1856; morto a Parigi, 11 dicembre 1941.
Giuseppe Peano, nato a Cuneo, 27 agosto 1858; morto a Torino, 20 aprile 1932.
52
Capitolo 2
Nel nostro caso, la mappa T di cui si cerca il punto fisso è data da
Z t
T (x) (t) = x0 +
f (s, x(s))ds
t0
ed agisce sullo spazio di funzioni C 0 (I , Rn ), dove I è un opportuno intervallo.
Una condizione sufficiente perché una mappa in uno spazio metrico abbia un punto
fisso è fornita dal seguente teorema, detto di Banach-Caccioppoli.25
Teorema 2.15: Sia (M, dist) uno spazio metrico completo;26 sia poi f : M → M
una mappa contrattiva, tale cioè che dist(f (x1 ), f (x2 )) < k dist(x1 , x2 ) con k costante
reale positiva, k < 1. Allora l’equazione di punto fisso f (x) = x ammette una ed una
sola soluzione in M .
A questo punto la dimostrazione del teorema di esistenza e unicità consiste nel
restringere opportunamente l’intervallo I e la sua immagine x(I ) che compaiono
nello spazio di funzioni continue nel quale si cercano le soluzioni del problema di
punto fisso per T , affinché in esso possano essere soddisfatte le ipotesi del teorema di
Banach-Caccioppoli, ovvero la mappa T risulti una contrazione.
Una seconda osservazione riguarda il ruolo delle ipotesi del teorema, continuità
e lipschitzianità del secondo membro. Nella dimostrazione delineata, che fa uso del
teorema di punto fisso di Banach, l’ipotesi che la funzione f sia di classe Lipschitz
è apparentemente essenziale anche per ottenere l’esistenza della soluzione; tuttavia
un teorema di Peano della fine del secolo XIX, che fa uso di tecniche completamente
differenti, consente di garantire l’esistenza della soluzione sotto l’ipotesi della sola
continuità, mentre abbiamo già visto con esempi che in presenza della sola continuità
uno stesso problema di Cauchy può avere anche infinite soluzioni. Anche per questi
argomenti si rinvia alla letteratura specialistica sulle equazioni differenziali.
2.5.2 Il problema del prolungamento
Veniamo ora alla questione del prolungamento di una soluzione. Il teorema di esistenza e unicità citato fornisce un risultato solo locale, cioè non consente di garantire
l’esistenza (o la non esistenza) di una soluzione su un intervallo prefissato. D’altra
parte in gran parte delle applicazioni non è possibile determinare in modo esplicito
25
Stefan Banach, nato a Kraków (Cracovia, allora in Austria–Ungheria, oggi in Polonia),
30 marzo 1892; morto a Lvov, oggi in Ucraina, 31 agosto 1945.
Renato Caccioppoli, nato a Napoli, 20 gennaio 1904; morto a Napoli, 8 maggio 1959.
26
Ossia uno spazio su cui sia definita la distanza tra due punti dist(x, y) come funzione
positiva che si annulla se e solo se i due punti coincidono, e che soddisfa la diseguaglianza
triangolare secondo la quale la lunghezza di un lato di un triangolo non supera la somma
n
delle lunghezze degli altri due.
p Un esempio elementare è la distanza Euclidea in R ,
2
2
definita come dist(x, y) =
(x1 − y1 ) + . . . + (xn − yn ) . Se si considerano funzioni
reali f (t), g(t) definite su un intervallo comune [a, b] si può considerare ad esempio la
distanza dist(f, g) = supt∈[a,b] |f (t)−g(t)| . Lo spazio si dice completo se ogni successione
di Cauchy ammette limite.
Introduzione alle equazioni differenziali ordinarie
53
la soluzione, ed è utile sapere a priori, cioè senza avere determinato esplicitamente la
soluzione, quale sia l’intervallo massimale di esistenza della soluzione. In particolare è
interessante sapere se la soluzione esiste per tutti i tempi, almeno nel futuro. Diamo
qui solo un paio di risultati e qualche esempio, a titolo di orientamento sulla questione
e per futura utilità.
Intanto osserviamo che se x è la soluzione la cui esistenza è accertata grazie al
teorema di esistenza e unicità, essa può essere sempre prolungata ad un intervallo più
grande di quello che compare nel teorema medesimo. Infatti basta scegliere
come punto
iniziale di un nuovo problema di Cauchy proprio il punto x(t0 +δ), t0 +δ ∈ Ω . Poiché
Ω è aperto, questo è punto iniziale di un problema di Cauchy per il quale valgono ancora le ipotesi del teorema. Cosı̀ proseguendo si ottiene una soluzione massimale destra,
e analogamente si definisce una soluzione massimale sinistra, e infine una soluzione
massimale, definita su un intervallo (tmin , tmax ) per il problema di Cauchy assegnato.
Vale allora il seguente teorema, detto della striscia.
Teorema 2.16: Data la striscia S = Rn × (t1 , t2 ) , sia f : S → Rn una funzione
soddisfacente le ipotesi del teorema di esistenza e unicità locale con Ω = S. Se inoltre
esistono due costanti positive M ed N tali che
|f (t, x)| ≤ M |x| + N
∀(x, t) ∈ S ,
allora la soluzione x è definita su tutto (t1 , t2 ) .
Naturalmente se la base della striscia, ovvero l’intervallo (t1 , t2 ), può essere scelta
arbitrariamente, allora la soluzione esiste su tutto R, poiché esiste su tutti i suoi
sottointervalli limitati.
Dunque la crescita ammissibile per il secondo membro (ferme restando le altre
ipotesi) è al più lineare nella variabile x. Si dice in questo caso, che la funzione f è
sublineare. Un caso significativo che rientra sotto questa condizione è naturalmente
quello in cui il secondo membro f sia limitato.
Vale la seguente semplice e comoda
Proposizione 2.17: Se f ∈ C 1 (S, Rn ) e tutte le derivate parziali di f rispetto alle
variabili x1 , . . . , xn sono limitate in S , allora f è sublineare.
Illustriamo l’applicazione del teorema della striscia con due esempi. Consideriamo
per primo il problema di Cauchy
ẋ = sin t(1 − x2 ) , x(0) = x0 ,
e mostriamo che ha soluzioni definite su tutto l’asse reale. Infatti il secondo membro
è definito su ogni striscia S = R × (t1 , t2 ) , dove soddisfa le ipotesi del teorema di
esistenza ed unicità locale; inoltre è una funzione limitata su R2 , e quindi soddisfa le
ipotesi del teorema della striscia. Ne segue che la soluzione è definita su ogni intervallo
(t1 , t2 ) contenente l’origine e quindi su tutto R.
Come secondo esempio consideriamo il problema di Cauchy
ẋ = t2 exp(−t − x2 ) ,
x(t0 ) = x0 .
54
Capitolo 2
Anche in questo caso vale l’esistenza e l’unicità locale per ogni punto della striscia
S = R × (t1 , t2 ) . Inoltre
r
∂f 2
2
≤ t exp(−t) 2x exp(−x ) ≤ C 2
∂x e
p
2
t exp(−t) sull’intervallo [t1 , t2 ] , e 2/e
dove C è il massimo della funzione h(t) =
è il massimo su R della funzione g(x) = −2x exp(−x2 ) . Dunque il secondo membro
dell’equazione differenziale è sublineare in ogni striscia Rn × [t1 , t2 ] , e pertanto la
soluzione esiste su tutto R .
Tuttavia non sempre la funzione a secondo membro dell’equazione, come richiesto
dal teorema della striscia, è globalmente sublineare. È spesso utile, allora la seguente
Proposizione 2.18:
Sia dato il problema di Cauchy
ẋ = f (x, t) ,
x(t0 ) = x0
con f definita in Ω = Rn × R. Valgano per esso le ipotesi del teorema di esistenza
e unicità locale e sia x la sua soluzione massimale. Allora se esistono costanti reali e
positive tali che
x(t) ≤ C1 + C2 (t − t0 ) ∀t ∈ [t0 , tmax )
allora tmax = +∞ .
Un enunciato analogo vale per tmin .
Il teorema ha come sua ipotesi fondamentale una cosiddetta maggiorazione a priori, cioè una informazione sulla crescita della soluzione indipendente dalla conoscenza
della forma esplicita della soluzione medesima. Come sia possibile ottenere una tale
informazione lo vediamo nel seguente esempio, con il quale siamo già familiari. Consideriamo il modello logistico, descritto dal problema di Cauchy
ẋ = x(1 − x) ,
x(0) = x0 .
Come sappiamo questa equazione ammette le due soluzioni costanti x(t) = 0 e x(t) =
1 . Consideriamo ora dati iniziali con 0 < x0 < 1 Per unicità, la soluzione del problema
di Cauchy corrispondente a questi dati non può raggiungere le rette x = 0 e x = 1 ,
e dunque è limitata. Perciò soddisfa le ipotesi del teorema precedente ed è definita su
tutto R . Notiamo che in questo caso il secondo membro è quadratico e non potrebbe
applicarsi il teorema della striscia.
Consideriamo infine il caso notevole dell’equazione di Newton per una particella
puntiforme soggetta ad una forza conservativa. Sia x la posizione della particella e
V (x) l’energia potenziale corrispondente alla forza F (x). Supporremo V inferiormente
limitata. Allora la soluzione dell’equazione di Newton
mẍ = F (x) = −∇V (x)
esiste per tutti i tempi.
Introduzione alle equazioni differenziali ordinarie
55
Ciò è conseguenza della conservazione dell’energia, di cui ci occuperemo in modo
più esteso nei prossimi capitoli. Possiamo però anticipare l’informazione rilevante.
L’energia
2
1 E = m ẋ(t) + V (x(t))
2
si mantiene costante durante l’evoluzione del sistema. Di conseguenza, detto V
l’estremo inferiore di V (x) , si ha
r
2
(E − V ) ,
|ẋ(t)| ≤
m
e dunque
r
2
(E − V ) .
|x(t)| ≤ |x0 | + (t − t0 )
m
Ora l’equazione del secondo ordine di Newton può ridursi ad un sistema del primo
ordine tramite l’introduzione dell’incognita ausiliaria ẋ = y, e le due ultime diseguaglianze consentono di applicare la proposizione 2.18 al sistema cosı̀ ottenuto e
di concludere che la sua soluzione esiste per tutti i tempi.
56
Capitolo 2
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