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Un esercizio svolto sulla stima dell`errore

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Un esercizio svolto sulla stima dell`errore
Stima dell"errore / Un esercizio svolto
ESERCIZIO. Stabilire se le seguenti serie sono convergenti e, in caso aermativo, approssimarne la
somma con un errore inferiore alla tolleranza % specificata:
4
[
(1)n
,
a)
n!
n=0
b)
% = 102
4
[
1
,
n log2 n
n=2
% = 103 .
Svolgimento.
n
1
a) La serie è convergente, ad esempio perché converge assolutamente: si ha (1)
n! = n! per ogni n e si
S 1
n!
1
vede subito che la serie
n! converge, ad esempio per il criterio del rapporto ( (n+1)! = n+1 $ 0).
Per stimarne la somma S a meno dell’errore % = 102 specificato, osserviamo che la serie è a termini
di segno alterno e proviamo allora ad applicare il criterio di Leibniz (a cui saremmo ovviamente
potuti ricorrere anche per studiare la convergenza della serie). La successione
bn =
1
>0
n!
è chiaramente infinitesima ed è decrescente, in quanto bn+1 bn significa
1
1
,
(n + 1)!
n!
cioè
1
1
,
(n + 1) n!
n!
1
1
n+1
cioè
e la disequazione n + 1 1 è verificata per ogni n 0. Dunque, detta Sk la ridotta k-esima della
serie, il criterio di Leibniz assicura che per ogni k 1 si ha
|S Sk | bk+1 =
e pertanto, scegliendo un k tale che
la ridotta Sk =
k
S
n=0
(1)n
n!
1
(k + 1)!
1
1
<
,
(k + 1)!
100
approssima S con un errore |S Sk | inferiore ad % = 102 . Ad esempio,
si ha
k
1
(k + 1)!
e quindi risulta |S S4 | % = 102 è data da
0
1
1
1
2
2
1
6
3
4
1
1
=
4!
24
1
1
=
5!
120
1
1
<
, per cui un’approssimazione di S a meno di un errore
120
100
S4 =
4
[
(1)n
1 1
1
3
=11+ +
= .
n!
2
6
24
8
n=0
M.Guida, S.Rolando, 2013
Osservazione. La serie
4
S
xn
n!
n=0
è una serie notevole, detta serie esponenziale (di parametro x);
essa converge assolutamente per ogni valore di x 5 R fissato e risulta
4
[
xn
= ex .
n!
n=0
In particolare la serie
4
S
n=0
(1)n
n!
converge ad S = e1 (serie esponenziale di parametro 1) e
nell’esercizio abbiamo dunque ottenuto che un’approssimazione razionale di
pari a
1
100
è data da
3
8
1
e
a meno di un errore
= 0.375.
b) Per ogni > 0, risulta 1 < log2 n < n2 definitivamente e quindi
1
1
1
<
< .
n1+2
n
n log2 n
S 1
Questo non permette però di concludere nulla sul carattere della serie data, in quanto
n1+2
S1
converge e
diverge.
Ricorriamo
allora
al
criterio
di
MacLaurin,
introducendo
la
funzione
n
f : [2, +4) $ R definita da
f (x) =
in modo che f (n) =
1
n log2 n
1
,
x log2 x
per ogni n 2. Tale funzione è chiaramente positiva su [2, +4) ed è
ivi decrescente, in quanto risulta
f 3 (x) = log2 x + 2 log x
log x + 2
= 2 3 < 0 per ogni x 2.
4
2
x log x
x log x
Dunque la serie data ha lo stesso carattere dell’integrale improprio
]
2
+4
1
dx = lim
b$+4
x log2 x
]
b
2
b
1
1
1
1
1 1
= lim
lim =
2 x dx = b$+4
b$+4
log
x
log
2
log
b
log
2
log x
2
e pertanto converge.
Stimiamo ora la somma S della serie a meno dell’errore % = 103 specificato. Detta SN la ridotta
N -esima della serie, il criterio di MacLaurin assicura che per ogni N 2 si ha
]
+4
0 S SN N
b
1
1
1
=
.
dx
=
lim
b$+4
log x N
log N
x log2 x
Scegliendo un N̄ 2 tale che
1
1
< 3,
10
log N̄
cioè
log N̄ > 103 ,
2
cioè N̄ > e1000 ,
risulta allora
0 S SN̄ 1
1
< 3
10
log N̄
e quindi un’approssimazione di S con un errore inferiore ad % = 103 è data da SN̄ =
3
N̄
S
n=2
1
.
n log2 n
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