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Indici di Posizione
Indice
•
•
•
•
Percentili
Decili
Quartili
Ranghi Percentili
• quartile; con tale termine si intende una
determinata percentuale di dati della
distribuzione.
• I percentili, i quartili, i decili non sono altro
che dei quantili che dividono il campione in
parti prestabilite (rispettivamente in 100, 4,
10).
Percentili
• Sono detti percentili quei dati di una serie al di
sotto dei quali si trova una determinata percentuale
del totale dei dati.
• La percentuale ricavata è indicata dall’indice del
percentile e viene scritta con il simbolo P.
• Perciò P12, P13, P70 sono quei dati al di sotto dei
quali si trova il 12%, 13% ed il 70% di tutti i dati
della distribuzione.
• L'indice del percentile sarà sempre compreso fra 0
(valore minimo) e 100 (valore massimo)
Calcolo per Dati Non
Raggruppati
• La regola generale è data dalla seguente
espressione: la posizione i di un dato percentile,
detto k l'indice del percentile stesso si ricava con
la formula:
N +1
i
100
i = indice da valutare
• Sia data una serie di dati numerici, il quindicesimo
percentile (P15) determina il limite al di sotto del
quale sono presenti il 15% dei dati dell’intera
distribuzione.
P15 =
N +1
15 15 = indice da valutare
100
• A tal riguardo il P0 è pari al dato minore.
• Procedure di calcolo con numeri interi.
• Nel caso in cui i è un numero intero allora il
percentile cercato corrisponde esattamente all'iesimo dato, ossia:
Pk = Xi
• Sia data la seguente serie numerica:
1, 3, 4, 5, 8, 10, 12, 13, 15 (n = 9)
• il calcolo del P80 sarà:
P80 = X N +1
100
80
=X
10
80
100
= X8
13
80 = indice da valutare
• Procedure di calcolo con numeri non interi: nel
caso i non è un numero intero, allora bisogna
eseguire un'interpolazione per ottenere il dato
teorico corrispondente al percentile cercato, ossia:
sia i = a,b
• si ha che
Pk = Xa + b (Xa+1-Xa)
• Sia data la serie:
1, 3, 4, 5, 8, 10, 12, 13, 15, 18 (N = 10)
• Il calcolo del P80 sarà….
P80 = X 10+1
100
80
=X
11
80
100
= X 8,8 80 = indice da valutare
• Ma la posizione 8,8 risulta essere valida a livello
teorico; ragion per cui si procede nella seguente
maniera:
P80 = 13 +0,8 (15 - 13) = 13 + 1,6 = 14,6
Calcolo per Dati Raggruppati
• In questo caso si deve innanzi tutto individuare la
classe che contiene il percentile cercato.
• Per fare ciò si parte dall'indice k del percentile e si
calcola la frequenza cumulata corrispondente,
ossia:
k n
fc k =
100
• Successivamente si individua la classe che
contiene tale frequenza cumulata; tale classe ha un
indice i tale per cui:
fci-1 < fck < fci
• A questo punto si applica la seguente formula:
k n
Pk = l inf i + 100
fci
fi
1
a
• Si prenda in considerazione la seguente tabella:
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Liminf
140
145
150
155
160
165
170
175
180
185
190
195
200
205
210
Limsup
144
149
154
159
164
169
174
179
184
189
194
198
204
209
214
linfi
139.5
144.5
149.5
154.5
159.5
164.5
169.6
174.5
179.5
184.5
189.5
194.5
199.5
204.5
209.5
lsupi
144.5
149.5
154.5
159.5
164.5
169.6
174.5
179.5
184.5
189.5
194.5
199.5
204.5
209.5
214.5
vcentri
142
147
152
157
162
167
172
177
182
187
192
197
202
027
212
f
2
6
51
207
550
1336
1800
2052
1884
1252
602
193
50
14
1
fci
2
8
59
266
816
2152
3952
6004
7888
9140
9742
9935
9985
999
1000
Fc%i
0.02
0.08
0.59
2.66
8.16
21.2
39.5
60.0
78.8
91.4
97.4
99.3
99.8
99.9
100
• Si supponga di voler calcolare il P75
• Da ciò si deduce che k = 75 e, dal momento che n
= 10000, si avrà:
fc 75
75 10000
=
= 7500
100
• La classe che contiene il percentile 75 ha indice i
pari a 9; quindi:
7500 6004
P75 = 179.5 +
5 = 163.5
1884
Decili
• data la definizione di percentile, le suddivisioni
decimali saranno dette decili (D); le procedure di
calcolo, una volta ordinati i dati in crescendo,
saranno.
N +1
i
10
i = indice da valutare
Quartili
• Si definiscono invece quartili, quei dati sotto dei
quali si trovano o il 25%, o il 50%, o il 75% o
l’intera distribuzione di dati,
N +1
i i = indice da valutare
4
Ranghi Percentili
• Il rango percentile indica la posizione occupata da
un certo dato all’interno della serie considerata;
• la posizione del dato è espressa come percentuale
del totale dei dati che si trova al di sotto del dato
stesso e di cui si fornisce il rango percentile.
• Se si considera l’esempio della serie numerica:
1, 3, 4, 5, 8, 10, 12, 13, 15
• si ha che il calcolo dell’ottantesimo percentile è 13
quindi, l’inverso, ossia il rango percentile 13 sarà
80. In termini sintetici:
P80 = 13 quindi Rp13 = 80
Calcolo per Dati Non
Raggruppati
• Come primo passo si deve attribuire il rango
(posizione di un dato all’interno della serie
ordinata dei dati stessi, ciò va fatto in modo
crescente, ossia…
ordine crescente
Xmin ha R = 1 e Xmax ha R = n
• per ordine decrescente
Xmax ha R = 1
Xmin ha R = n quindi
• Si deve comunque notare che se nella serie di dati
si riscontrano dei valori uguali, tali valori si
assumeranno un rango uguale fra loro e pari al
rango medio rispetto a quello che avrebbero
assunto se fossero stati diversi fra loro.
• Si prenda in considerazione la tabella sottostante:
Xi
10
14
14
14
15
16
19
20
21
21
23
26
Rx
1
3
3
3
5
6
7
8
9.5
9.5
11
12
I
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
• Da ciò si ricava che:
R14 = (2 + 3 + 4) / 3 = 3
R21 = (8 + 10) / 2 = 9.5
• Una volta quindi scelto l’ordine di
posizionamento, si applica la formula di
Claparède.
• Anche in questo caso si deve distinguere fra
ordine crescente e decrescente:
n Rx
100
Rp x (ordine crescente) =
n 1
Rx 1
100
Rp x (ordine decrescente) =
n 1
• Utilizzando i dati della tabella si avrà:
Rp 20
12 8
=
100 = 36.4
12 1
Calcolo per Dati Raggruppati
• Il primo passo consiste nell’individuare la classe
che contiene il dato x di cui vogliamo calcolarne il
rango percentile.
• La classe che dovremo individuare avrà come
indice i il valore tale che:
l inf
i
< x < l sup i
• Una volta espressa questa relazione, si può
calcolare il rango percentile, ossia…
x l inf i
ci 1 +
a
Rp x =
n
•
i
100
Come esempio si riportano i seguenti dati:
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Liminf
140
145
150
155
160
165
170
175
180
185
190
195
200
205
210
Limsup
144
149
154
159
164
169
174
179
184
189
194
198
204
209
214
linfi
139.5 144.5 149.5 154.5 159.5 164.5 169.6 174.5 179.5 184.5 189.5 194.5 199.5 204.5 209.5
lsupi
144.5 149.5 154.5 159.5 164.5 169.6 174.5 179.5 184.5 189.5 194.5 199.5 204.5 209.5 214.5
vcentri
142
147
152
157
162
167
172
177
182
187
192
197
202
027
212
f
2
6
51
207
550
1336
1800
2052
1884
1252
602
193
50
14
1
fci
2
8
59
266
816
2152
3952
6004
7888
9140
9742
9935
9985
999
1000
Fc%i
0.02
0.08
0.59
2.66
8.16
21.2
39.5
60.0
78.8
91.4
97.4
99.3
99.8
99.9
100.0
• Si supponga di voler calcolare il rango percentile
del dato x = 186
• Tale dato è contenuto nella classe di indice i = 10,
per cui si ha:
Rp186 =
7888 +
186 184.5
1252
5
100 = 82.6
10000
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