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Paul Erdös, il matematico errante

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Paul Erdös, il matematico errante
Paul Erdös, il matematico errante
di Federico Peiretti
Paul Erdös, 1913 – 1996
“Era una persona di media statura, estremamente nervosa, e non riusciva mai a stare fermo. Il suo
sguardo lasciava trasparire il fatto che era costantemente assorto in riflessioni di tipo matematico,
un processo che interrompeva soltanto per pronunciare pessimistiche asserzioni sulla situazione
mondiale, politica e in generale sulla condizione umana, che egli vedeva piuttosto nera. Se gli
passava per la mente qualcosa di divertente, improvvisamente saltava per aria, agitava le braccia e
tornava nuovamente a sedersi”: così Stan Ulam, il matematico che collaborò alla realizzazione della
bomba atomica americana, ricorda il suo primo incontro con Paul Erdös, uno dei più geniali ed
eccentrici matematici di questo secolo.
Paul Erdös, 1913 – 1996 Erdös, morto nel 1996 a Varsavia, era nato a Budapest nel 1913, da
genitori ebrei, entrambi insegnanti di matematica. Aveva dimostrato la sua vocazione matematica
già a tre anni, riuscendo a calcolare, come amava egli stesso ricordare, 100 meno 250, e scoprendo
in tal modo, senza alcun aiuto, i numeri negativi. Pochi anni più tardi si divertiva a risolvere
problemi curiosi che egli stesso inventava calcolando, ad esempio, quanto tempo avrebbe impiegato
un treno per raggiungere il sole. “Era così timido – racconta Paul Hoffman nella sua biografia,
pubblicata in italiano da Mondadori, L’uomo che amava solo i numeri - che dava apposta risposte
sbagliate agli esami per evitare il tormento di riuscire primo e dover quindi ricevere un premio di
fronte a tutta la classe”.
A vent’anni si fece notare nell’ambiente matematico con una semplice ed elegante dimostrazione
che provava come tra ogni numero intero n, maggiore di 1, e il suo doppio 2n si trovasse almeno un
numero primo. Ad esempio tra 3 e 6 si trova 5, tra 8 e 16 si trovano 11 e 13 e così via. Si tratta di un
risultato che era già stato ottenuto nell'Ottocento, ma in modo molto più complicato, da uno dei
grandi matematici russi, Pafnuti Cebycev. Poco più tardi Erdös Paul Erdös durante una sua lezione
dimostrò un nuovo teorema secondo il quale esistono almeno due numeri primi della forma 4k + 1 e
4k + 3, sempre tra un numero e il suo doppio. Ad esempio, fra 10 e 20 si trova la coppia di numeri
primi 17 e 19, corrispondenti a 4x4 + 1 e 4x4 + 3, tra 100 e 200, la coppia 101 e 103, corrispondenti
a 4x25 + 1 e 4x25 + 3.
Autentico ebreo errante, Erdös non ebbe mai una
casa. Nel 1938 aveva lasciato l’Europa e si era
rifugiato negli Stati Uniti che fu costretto però ad
abbandonare al tempo delle persecuzioni
maccartiste, iniziando così le sue peregrinazioni
per il mondo “a distribuire le sue congetture –
come dice Alexander Soifer – le sue intuizioni tra
gli altri matematici”. La battuta preferita di Erdös
era: “Another roof, another proof”- un altro tetto
un’altra dimostrazione. Era così disponibile a
parlare di matematica con tutti - scriveHoffman che i suoi amici lo prendevano in giro dicendo
che non poteva fare un viaggio in treno senza
dimostrare un teorema al controllore". La
matematica è stata per Erdös tutta la sua vita, non
ha
avuto
alcun
altro
interesse.
"La proprietà – affermava Erdös - è soltanto una
seccatura”, e per questo cercava di evitare ogni
problema relativo alla gestione di una casa o della
propria vita quotidiana. Non sapeva guidare
un'auto, compilare un assegno o cuocere un uovo,
e neppure riusciva a fare la spesa, pagare le tasse
o semplicemente far funzionare una lavatrice.
Paul Erdös durante una sua lezione
Sopravvisse soltanto grazie alle cure degli amici
matematici, ben lieti di poterlo ospitare, sicuri di avere,
in cambio dell'ospitalità, preziosi contributi alle loro
ricerche e nuovi problemi da indagare. "Le due cose che
più lo terrorizzavano erano la vecchiaia e la demenza
senile – ricorda un suo amico, Janos Pach. Erdös diceva
scherzando: “Non mi preoccupa molto se mi dimentico
di tirare su la cerniera dei pantaloni, ma sarò veramente
preoccupato quando mi dimenticherò di tirarla giù".
Erdös è considerato uno dei grandi matematici di questo
secolo, ha posto e risolto migliaia di problemi nella
teoria dei numeri, il suo argomento preferito, è stato tra i
fondatori della matematica
discreta che è alla base
dell’informatica, e ha dato
contributi essenziali in
diversi altri settori della
matematica moderna. E'
stato
anche
uno
dei
matematici più prolifici, attivo fino agli ultimi giorni della sua vita, ha
pubblicato più di 1500 lavori: "solo un matematico nella storia è
riuscito a pubblicare più pagine di Erdös - osserva Hoffman - nel XVIII
secolo il genio svizzero Eulero scrisse ottanta volumi di risultati
matematici. Erdös però ha stabilito un nuovo record nel tirare fuori bei
problemi, per vedere se qualcuno li avrebbe risolti".
I matematici si vantano del loro rapporto con Erdös citando quello che
è stato definito il "numero di Erdös" personale. E' un numero 1 chi ha
pubblicato un lavoro direttamente con Erdös ed è invece un numero 2
chi ha pubblicato un lavoro con un numero 1, cioè con qualcuno che ha
lavorato con Erdös, è un numero 3 chi ha lavorato soltanto con un
numero 2 e così via. I “numeri 1” sono 462 e 4566 i “numeri 2”, segno del grande lavoro svolto da
Erdös in collaborazione con tanti matematici. Erdös, come molti matematici, riteneva che la
matematica non fosse un'invenzione, ma una scoperta, e parlava di un Grande Libro nelle mani di
Dio che conteneva le più belle dimostrazioni di tutti i problemi matematici, un libro a cui,
confessava, avrebbe volentieri dato un'occhiata, del quale comunque qualche bella pagina è riuscito
scoprire. Per dare un'idea del suo lavoro riportiamo soltanto un problema molto semplice,
riguardante sequenze di “+1” e“-1”. Supponiamo di avere lo stesso numero di “+1” e “-1” e di
metterli in fila secondo un ordine qualsiasi. Ad esempio, con due “+1” e due “-1” possiamo
costruire le sei righe diverse della tabella, se l'ordine può essere qualsiasi. Naturalmente la somma
di tutti termini di una riga è sempre uguale a zero. Studiamo però le somme parziali delle diverse
righe. Nella prima riga del nostro esempio precedente, la somma è +1 dopo il primo termine, +2
dopo il secondo termine, + 1 dopo il terzo termine e 0 dopo il quarto termine. Il problema consiste
nel determinare il numero di righe che non hanno mai somme negative. Sempre nel nostro esempio,
con due “+1” e due “-1”, cioè con n = 2, soltanto due delle sei righe diverse che possiamo costruire
non hanno somme parziali negative: la prima e la seconda della tabella.
Con n = 3 possiamo costruire 20 righe diverse, di cui soltanto 5 hanno somme parziali non negative
e si può verificare, con un po' di pazienza, che con n = 4 si hanno 70 righe diverse, di cui soltanto
14 soddisfano alla condizione richiesta. Se si prosegue in questo modo, si trova la seguente
successione di numeri:
Questi sono i numeri della successione di Catalan, dal nome del matematico belga che per primo li
studiò, nel secolo scorso. Se abbiamo n “+1”, e quindi anche n “-1”, ricaviamo ogni numero della
successione moltiplicando 1/n+1 per il totale delle righe costruite con gli n “+1” e gli n “-1”. Ad
esempio, con n = 3, come abbiamo visto, otteniamo 20 righe diverse e dobbiamo moltiplicare 20 per
¼, ottenendo proprio 5, con n = 4 abbiamo 70 per 1/5, cioè 14, e così via.
Questi calcoli non sono soltanto un gioco divertente, ma possono avere diverse applicazioni.
Possiamo pensare, ad esempio, alla coda che si può formare al botteghino di un teatro, in una
situazione necessariamente ancora molto schematica: nel caso in cui il biglietto di ingresso costi 25
mila lire e alla cassa si presenti un gruppo di persone, metà delle quali con la cifra esatta in contanti
e l’altra metà con un biglietto da 50 mila lire, si chiede in quanti modi diversi si possano mettere in
fila queste persone per consentire al cassiere di iniziare senza soldi in cassa e di avere poi sempre a
disposizione il resto necessario. L’analogia con le righe di “+1”e “-1” è evidente.
Federico Peiretti
Per saperne di più: Paul Hoffman, L’uomo che amava solo i numeri, Mondadori, 1999
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