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Misuro 50 volte una grandezza xe trovo che il suo

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Misuro 50 volte una grandezza xe trovo che il suo
Misuro 50 volte una grandezza x e trovo che il suo valore medio x e’ 12.0 e la
deviazione standard σ delle misure e’ 3.0.
1) Se assumo che gli errori di misura siano distribuiti secondo la distribuzione di
Gauss (o normale) qual e’ la distribuzione di probabilita’che meglio approssima i dati
che ho misurato?
2) secondo questa distribuzione quanti dati dovrebbero in media cadere tra 9 e 12?
3) se io ho invece 20 dati tra 9 e 12, questo e’ in accordo con una distribuzione di
Gauss?
Risposte:
1) la distribuzione normale che meglio approssima la distribuzione dei miei dati e’
−
p(x)= e
( x −12 ) 2
2×3 2
2) 9 differisce da dalla media 12 di una deviazione standard σ. La probabilita’ che un
dato cada tra la media e la media meno una deviazione standard e’ 0.3413 (vedere ad
esempio la tabella nell’appendice B del vostro libro).
Poiche’ ho 50 misure, in media mi posso aspettare che 50 x la probabilita’ trovata
prima, 50 x 0.3413 = 17.07 cadano nell’intervallo tra la media e la media meno una
deviazione standard.
Questa stima ha un’errore statistico σ‘= radice quadrata di 17= 4.1 (posso usare per il
numero di misure che cadono in un intervallo la statistica di Poisson).
3)Quindi il numero delle misure osservate nell’intervallo 9-12 (cioe’ 20) differisce da
quello delle misure attese (17) per meno di una σ‘ (cioe’ circa 4), ed e’ quindi in
accordo con quello stimato.
Questo dato e’ quindi in accordo con la distribuzione di Gauss.
___________________________________________________________________
Misuro 50 volte una grandezza x e trovo che il suo valore medio x e’ 12.0 e la
deviazione standard σ delle misure e’ 3.0.
1) Se assumo che gli errori di misura siano distribuiti secondo la distribuzione di
Gauss (o normale) qual e’ la distribuzione di probabilita’che meglio approssima i dati
che ho misurato?
2) secondo questa distribuzione quanti dati dovrebbero in media cadere tra - ∞ e 6,
quanti dati tra 6 e 9,
quanti tra 9 e 15,
quanti tra 15 e + ∞ ?
3)Se io ho trovato 18 misure tra 15 e + ∞ , questo e’ in accordo con una distribuzione
di probabilita’ normale?
Risposte:
1) la distribuzione normale che meglio approssima la distribuzione dei miei dati e’
−
p(x)= e
( x −12 ) 2
2×3 2
2) 6 differisce da 12 di due deviazioni standard, 9 differisce da 12 di una deviazione
standard e 15 differisce da 12 di una deviazione standard.
Quindi nell’intervallo tra - ∞ e 6 il numero dei dati atteso da una distribuzione
normale e’ uguale alla probabilita’ di avere un dato compreso tra meno infinito e la
media meno due volte la deviazione standard.
Secondo la tabella dell’appendice B del vostro libro la probabilita’ di avere un dato
compreso tra il valor medio e meno due volte la deviazione standard e’ 0.4772, quindi
la probabilita’ di averlo tra meno infinito e meno due deviazioni σ e’ 0.50.4772=0.0328
La probabilita’ di avere un dato tra meno due deviazioni standard e meno una
deviazione standard e’ la differenza della probabilita’ di avere un dato tra la media e
due σ dalla media e la probabilita’ di avere un dato tra la media e una σ da essa, cioe’
sempre dalla tabella dell’appendice B 0.4772-0.3413 = 0.1359.
La probabilita’ di avere un dato tra la media meno 1 σ e la media piu’ 1 σ e’ due volte
la probabilita’ di avere un dato tra le media e la media piu’ 1 σ, quindi e’ 2 x 0.3413=
0.6826.
La probabilita’ di avere un dato tra 15 e + ∞ , quindi tra 1 σ oltre la media e infinito,
e’ la probabilita’ di avere un dato tra la media e + ∞ (=0.5) e la probabilita’ di averlo
tra la media e 1 σ (=0.3413), quindi 0.5-0.3413= 0.1587
Quindi il numero medio di misure che mi posso aspettare dalla distribuzione normale
tra - ∞ e 6 e’ 50 x 0.0328 = 1.64 (numero di misure per probabilita’ che cadano
nell’intervallo)
Il numero medio di misure che mi aspetto tra 6 e 9 e’ 50 x 0.1359= 6.8
Il numero medio della misure che mi aspetto cadano tra 9 e 15 e’ 50 x 0.6826= 32.13
Il numero medio di misure che mi aspetto cadano tra 15 e + ∞ e’ 50 x 0.1587= 7.9
3) Come visto prima in base alla distribuzione di Gauss tra 15 e + ∞ posso aspettarmi
circa 8 misure tra le 50 fatte. L’errore statistico σ‘ su questa stima e’ la radice
quadrata del numero di misure attese, cioe’ circa 2.8.
Il numero di misure che invece io ho 15 e + ∞ e’ 18, che differisce da quello atteso 8
per ben piu’ di 3 deviazioni standard σ‘. Quindi e molto poco probabile che la
distribuzione di Gauss descriva la distribuzione della mie misure.
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