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TEORIA DEI GIOCHI E STRUMENTI DELL`ANALISI STRATEGICA

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TEORIA DEI GIOCHI E STRUMENTI DELL`ANALISI STRATEGICA
9 maggio 2012
TEORIA DEI GIOCHI
E STRUMENTI DELL’ANALISI STRATEGICA
(Capitolo 11, escluse appendici)
Nella prima parte del corso, dedicata all’analisi dell’equilibrio economico
generale ho ripetutamente sottolineato che uno degli assiomi fondamentali
di comportamento degli agenti, consumatori e produttori è che effettuino
le loro scelte in modo indipendente. Se gli agenti sono razionali e
perseguono obiettivi di massimizzazione (dell’utilità o del profitto), ma
subordinano le loro scelte a quelle degli altri agenti ovvero
si comportano in modo strategico,
i risultati delle loro azioni possono essere, e generalmente sono, molto
diversi da quelli che abbiamo ottenuto nel contesto di un modello di
equilibrio economico generale. In generale, non avranno la proprietà di
ottimalità nel senso di Pareto.
I comportamenti strategici sono molto frequenti nella realtà, in particolare
nei mercati oligopolistici, nei mercati finanziari e nel mercato del
lavoro. Questi sono i campi di applicazione più usuali dello strumento di
analisi più appropriato all’analisi dei comportamenti strategici:
la TEORIA DEI GIOCHI.
Questa è stata inventata da John Von Neumann negli anni trenta ed
applicata per la prima volta all’analisi economica da John Von Neumann e
da Oskar Morgenstern nel volume “The Theory of Games and Economic
Behaviour” (1944).
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Si ha un
• GIOCO DI STRATEGIA
ogni qualvolta l’esito di un insieme di azioni intraprese da due o più
individui, o
• PAYOFF
o
• PREMIO
per ciascuno dei giocatori dipende non solo dalle sue scelte ma anche dalle
scelte degli altri partecipanti al gioco.
Più precisamente il gioco di strategia è
l’insieme di regole che vincola le scelte dei giocatori e ne definisce i
payoff.
Queste regole sono conosciute con certezza da tutti i giocatori. Un
esempio, estraneo all’economia, ma appropriato, è il gioco degli scacchi.
Il gioco può prevedere anche esiti probabilistici. In questo caso anche
la NATURA
intesa come generatrice di eventi casuali, o il
CASO
contribuiscono a determinare l’esito del gioco per ciascun giocatore. I
giochi nei quali i payoff dipendono anche da eventi casuali o stati di
natura sono detti
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GIOCHI CONTRO IL CASO, O CONTRO LA NATURA
Un esempio, estraneo all’economia ma appropriato, è il gioco del poker,
nel quale la distribuzione delle carte fra giocatori è casuale.
Qualsiasi gioco di strategia ammette due tipi di rappresentazioni:
in forma estesa
mediante
l’albero del gioco
oppure
in forma normale
Entrambe le rappresentazioni forniscono una descrizione dettagliata delle
regole del gioco. Vedremo, tuttavia, che le due rappresentazioni non sono
sempre equivalenti.
Nel seguito dell’analisi le principali definizioni e proposizioni verranno
illustrate mediante esempi, generalmente tratti dal libro di testo.
Rappresentazione in forma estesa
ESEMPIO 1:
Esistono due società informatiche:
- IBM
- Toshiba
Che devono scegliere il sistema operativo per i personal computer che
producono e vendono.
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La scelta è fra
- DOS
prodotto da IBM, e
- UNIX
in versione Toshiba.
Se entrambe scelgono lo stesso sistema operativo, i computer prodotti
dalle due società sono compatibili ed entrambe le società ne traggono
beneficio. In questo caso, la società produttrice del software guadagna
600 milioni di dollari e l’altra società 200 milioni di dollari. Se le scelte
sono diverse, i computer non sono compatibili ed entrambe guadagnano
solo 100 milioni di dollari.
Le regole del gioco ed i relativi payoff possono essere rappresentati
mediante un albero decisionale (albero del gioco, forma estesa), costituito
da un insieme di
NODI
o punti decisionali, collegati fra loro da segmenti, o
RAMI.
GRAFICO I
IBM
1
DOS
Toshiba
2
UNIX
2
Toshiba
DOS
UNIX DOS
UNIX
(600,200) (100,100) (100,100) (200,600)
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Ogni nodo corrisponde ad una scelta da parte di un giocatore. Ogni ramo
corrisponde alle possibilità di scelta a disposizione del giocatore. Una data
sequenza di nodi e rami è detta
STRATEGIA
Ad ogni strategia è associato un insieme di payoff, uno per ciascun
giocatore, corrispondente ai numeri indicati entro parentesi al termine di
ogni percorso (il primo è riferito all’IBM, il secondo alla Toshiba).
Il gioco rappresentato nel grafico I è detto:
ad informazione perfetta,
perché si assume che le sequenze delle scelte corrispondano alla struttura
dell’albero e quindi che la prima scelta spetti ad IBM e che, quando è il
suo turno di scegliere, Toshiba conosca la scelta dell’IBM.
Se la scelta è contemporanea, o se nessuno dei due giocatori conosce la
scelta dell’altro nel momento in cui sceglie, il gioco è detto
ad informazione imperfetta
e può essere rappresentato nel modo seguente:
GRAFICO II
IBM
1
DOS
UNIX
Toshiba
Toshiba
2
3
DOS
UNIX DOS
UNIX
(600,200) (100,100) (100,100) (200,600)
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Il segmento tratteggiato che unisce i nodi 2 e 3 significa che la scelta di
Toshiba, che può essere o non essere contemporanea a quella di IBM,
avviene senza conoscere la scelta di IBM, cioè senza sapere se si trova nel
nodo 2 oppure nel nodo 3. Lo stesso vale naturalmente per IBM.
Per rappresentare un gioco ad informazione imperfetta in forma estesa si
può anche racchiudere i nodi 2 e 3 in un ovale. Noi useremo tuttavia
sempre la notazione illustrata nel grafico, perché è più semplice.
Un gioco ad informazione imperfetta può essere rappresentato anche in
♦ forma normale
mediante una tavola a doppia entrata.
TAVOLA I
Società
IBM
Toshiba
Sist. Operativo
DOS
UNIX
DOS
600,200
100,100
UNIX
100,100
200,600
La tavola ci dice che:
1. se entrambe le società scelgono DOS, IBM guadagna 600 milioni di
dollari e Toshiba 200 milioni di dollari,
2. se IBM sceglie DOS e Toshiba sceglie UNIX, o viceversa, entrambe
guadagnano solo 100 milioni di dollari,
3. se entrambe le società scelgono UNIX, Toshiba guadagna 600 milioni
di dollari ed IBM solo 200.
Si noti che:
qualunque sia la scelta dei due giocatori, entrambi hanno un
guadagno netto.
Quindi, la somma dei payoff è positiva.
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Quando la somma dei guadagni compensa esattamente la somma delle
perdite, il gioco è detto:
a somma nulla.
ESEMPIO 2:
Un esempio di gioco a somma nulla è il gioco dei “matching pennies”:
due bambini scelgono contemporaneamente un lato di una moneta. Se
entrambi scelgono lo stesso lato il bambino 2 guadagna un penny, perso
dall’altro. Se scelgono lati diversi, il bambino 1 guadagna un penny, perso
dall’altro. Anche questo gioco può essere rappresentato in forma
normale, come nella tavola II:
TAVOLA II
Bambino
2
Esito
Testa
Croce
1
Testa
-1,+1
+1,-1
Croce
+1,-1
-1,+1
(il primo numero è riferito al bambino 1) oppure in forma estesa:
GRAFICO III
Bambino 1
1
Testa
Bambino 2
Testa
(-1,+1)
Croce
Bambino 2
2
3
Croce Testa
Croce
(+1,-1) (+1,-1)
(-1,+1)
Si noti che
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né nell’esempio 1 né nell’esempio 2 le regole del gioco prevedono la
possibilità di accordi fra i giocatori.
I giochi che escludono questa possibilità sono detti:
NON COOPERATIVI.
Dobbiamo ora chiederci quali saranno gli esiti dei giochi che abbiamo
illustrato nei due esempi? Agli economisti, come è noto, interessano solo
gli esiti che hanno le caratteristiche di un equilibrio, definito:
• EQULIBRIO DI NASH
Nel caso generale di un gioco con n giocatori, una definizione formale
dell’equlibrio di Nash è la seguente:
un equilibrio di Nash è un vettore di strategie
(
s* = s1* , s*2 , K, s*n
)
ognuna delle quali è scelta da uno ed un solo giocatore, tale che, avendo
definito
(
)
πi s1* , s*2 , K, s*n , i = 1, K, n
il payoff dell’i-simo giocatore associato a questo vettore, la
diseguaglianza
(
) (
πi s1* , L, si ,K, s*n ≤ π s1* , s*2 .K, s*n
)
è verificata per tutti gli i=1,…,n e per tutte le possibili scelte si ∈ Si ,
dove Si è l’insieme delle possibili strategie a disposizione del giocatore
i-simo.
Il significato di questa definizione è, molto semplicemente che, se i
giocatori scelgono il vettore di strategie corrispondente all’equilibrio di
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Nash, nessuno di essi ha interesse a cambiare la propria strategia. Poiché
ogni giocatore persegue un obiettivo di massimizzazione del proprio
payoff, il vettore s*, assicura
la massimizzazione del payoff di ogni giocatore, subordinatamente
alle scelte strategiche di ogni altro giocatore.
La soluzione di un gioco corrispondente all’equlibrio di Nash, può essere
determinata con procedure diverse, in particolare:
mediante eliminazione delle strategie dominate
se
esiste una strategia dominante.
il che non è sempre vero. Per strategia dominante si intende una strategia
che
risulta la migliore per un giocatore, indipendentemente dalla strategia
adottata dall’altro.
ESEMPIO 3
Un esempio di equilibrio con strategia dominante è il seguente:
TAVOLA III
Società
Ford
Politica di prezzo
Prezzo alto
Prezzo basso
General Motors
Prezzo alto
Prezzo basso
500,500
100,700
700,100
300,300
Le due società possono scegliere solo fra due politiche di prezzo (prezzo
alto e prezzo basso). L’esito della scelta di ciascuna dipende dalla scelta
della concorrente. I payoff, in milioni di dollari, sono indicati nella caselle
centrali; come sempre il primo numero è riferito alla Ford, il secondo alla
General Motors. Il gioco è ad informazione imperfetta e non cooperativo.
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È facile verificare che la strategia prezzo basso è la migliore per entrambe
le società, indipendentemente dalla strategia scelta dal concorrente. Quindi
prezzo basso è la strategia scelta da entrambe le società, con un payoff di
300 milioni di dollari per ciascuna. Si noti che:
♦ la strategia dominante non è quella ottima nel senso di Pareto.
Infatti entrambe le società potrebbero migliorare i loro risultati economici
se stipulassero un accordo e praticassero entrambe una strategia di prezzo
alto. Questo è tuttavia impossibile in un gioco non cooperativo. Inoltre,
anche nell’ipotesi che l’accordo venisse stipulato, esisterebbe un incentivo
per entrambe le società a violarlo (se una sola delle due viola l’accordo il
suo payoff aumenta da 500 a 700 milioni di dollari).
Il gioco appena illustrato è un esempio del gioco del dilemma del
prigioniero.
Lascio a voi di rispondere al seguente problema:
♦ esiste una strategia dominante nel gioco della scelta del sistema
operativo di IBM e Toshiba e nel gioco dei matching pennies?
La soluzione dei giochi mediante eliminazione delle strategie dominate,
qualora sia possibile, presuppone la razionalità dei giocatori. L’ipotesi di
razionalità non ha trovato conferma nell’economia sperimentale. In
particolare, anche i giocatori razionali non scelgono la strategia dominante
se non sono certi della razionalità delle scelte dei loro avversari.
Il metodo è inoltre inefficace quando una strategia dominante non esiste e
quando esistono più equilibri di Nash. Gli equilibri multipli possono, a
volte, essere ordinati, in modo da rendere possibile una scelta per i
giocatori. Anche in questo caso, tuttavia, non sempre i giocatori sono in
grado di riconoscere il più vantaggioso in una molteplicità di equilibri
possibili.
Il seguente:
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ESEMPIO 4
illustra un caso in cui
un equilibrio di Nash non esiste.
TAVOLA IV
Generali
Generale 1
Strategie
Ritirarsi
Attaccare
Generale 2
Ritirarsi
Attaccare
5,8
6,6
8,0
2,3
Nella Tavola VI, i payoff dei due generali sono le loro utilità espresse in
termini di una comune unità di misura. L’equilibrio di Nash, se esiste, è
costituito da una coppia di strategie, una per ogni generale, tale che, se si
realizza, nessuno dei due ha alcun incentivo a modificare la sua scelta. E’
facile verificare che in questo esempio tutte le coppie di strategie
comportano un incentivo a modificare la scelta di almeno uno dei due
generali. Consideriamo la coppia di strategie secondo cui il generale 1 si
ritira ed il generale 2 attacca, con premi pari a (6,6). Questa coppia di
strategie non può essere un equilibrio perché, se il generale 1 si ritira,
anche al generale due converrebbe ritirarsi, ottenendo un’utilità pari a 8.
D’altra parte anche la strategia (5,8), nella quale entrambi i generali si
ritirano non può essere un equilibrio perché, se il generale 2 si ritira, al
generale 1 converrebbe attaccare, dato che questo porterebbe il suo payoff
ad 8. In modo analogo si può dimostrare che neppure le restanti due coppie
di strategie sono equilibri di Nash.
Un equilibrio di Nash che stabilisce una regola per l’azione che ciascun
giocatore deve compiere è detto
• EQUILIBRIO CON STRATEGIA PURA
Nell’esempio 4 questo equilibrio non esiste, ma l’esempio ammette la
possibilità di un
• EQUILIBRIO CON STRATEGIE MISTE
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Le strategie miste definiscono
combinazioni probabilistiche di tutte le possibili strategie pure del
gioco.
Nel caso in cui esistono N strategie pure possibili, una strategia mista è
una distribuzione di probabilità associata a queste strategie, ovvero
un insieme di numeri reali (p1, p2, …, pN), tali che
0 ≤ p i ≤ 1, per i = 1, K, N
e
∑ pi = 1
i
Illustriamo il concetto di equilibrio con strategie miste con riferimento
all’esempio 4.
Supponiamo che il generale 2 scelga la strategia pura “ritirasi” con
probabilità q e la strategia pura “attaccare” con probabilità 1-q. I payoff
attesi del generale 1 sono quindi:
1)
5q + 6(1 − q) = 6 − q
se si ritira,
2)
8q + 2(1 − q) = 2 + 6q
se attacca.
Quale delle due strategie sia più conveniente per il generale 1 dipende
chiaramente da valore di q. Supponiamo che il generale 1 valuti la
probabilità che il generale 2 scelga di ritirarsi con
q = 0,5.
I payoff attesi del generale 1 sono in questo caso pari a:
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5,5 se si ritira e 5 se attacca.
Quindi, se il generale 1 ritiene che il generale 2 adotti una strategia
mista con q=0,5,
il generale 1 sceglie la strategia pura di ritirarsi,
perché questa gli assicura un premio atteso più elevato.
Si noti che le equazioni 1 e 2, che definiscono l’utilità attesa di ogni
strategia per il generale 1, sono dette:
funzioni di utilità attesa.
Una funzione di utilità con queste caratteristiche è detta anche
funzione di utilità di Von Neumann-Morgenstern.
Poiché la strategia mista con q = 0,5 del generale 2 induce la scelta di
una strategia pura per il generale 1, questa coppia di strategie
non può essere un equilibrio con strategie miste.
Continuando ad ipotizzare un gioco con due soli giocatori,
si ha un equilibrio con strategie miste quando ciascun giocatore
adotta una strategia mista in corrispondenza della quale il premio
atteso che l’altro giocatore riceve è sempre lo stesso, qualunque sia la
strategia pura che questo giocatore adotta.
Supponiamo che, nell’esempio 4, il generale 2 adotti la strategia mista con
q=
4
7
, 1− q =
3
7
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Il premio atteso del generale 1 è
4
3 38
5 +6 =
7
7 7
se si ritira
4
3 38
8 +2 =
7
7 7
se attacca.
Poiché il generale 1 è indifferente sulla strategia da adottare, potrebbe
affidarsi anche lui al caso ed
associare una probabilità p alla ritirata ed una probabilità 1-p
all’attacco.
Affinché la strategia mista del generale 1 ammetta un equilibrio con
strategie miste, il valore di p deve essere tale che il premio atteso del
generale 2 per ogni strategia sia lo stesso. Ciò avviene se il generale 1
sceglie la strategia mista con
p=
3
2
; 1− p =
5
5
Infatti i premi attesi del generale 2 diventano:
3
2 24
8 +0 =
5
5 5
se si ritira
3
2 24
6 +3 =
5
5 5
se attacca.
14
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Quindi le strategie miste con
q=
4
7
, p=
3
5
costituiscono un equilibrio con strategie miste per il gioco illustrato
dall’esempio 4.
Individuare un’unica soluzione per un gioco con più equilibri di Nash è a
volte possibile con il metodo di
• INDUZIONE ALL’INDIETRO,
che permette di identificare gli
• EQUILIBRI PERFETTI NEI SOTTOGIOCHI.
Anche nell’esempio seguente, che illustra questi due concetti, i premi sono
l’espressione numerica delle utilità dei due giocatori
ESEMPIO 5
Il giocatore 1 è un bambino capriccioso, che il sabato pomeriggio vuole
andare al cinema. Suo padre, giocatore 2, vuole invece portare tutta la
famiglia in visita da zia Sofia. Il bambino può rassegnarsi a visitare la zia payoff (1,1) - oppure rifiutare. Se rifiuta, il padre può adeguarsi e portare
la famiglia al cinema - payoff (2,0) - oppure attuare la sua minaccia di
punire il bambino, obbigandolo a restare in casa con tutta la famiglia. Se la
minaccia viene attuata, tuttavia, il bambino urla e strepita e tormenta tutti payoff (-1,-1).
Nel grafico IV il gioco (ad informazione perfetta) è rappresentato in forma
estesa:
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Giocatore 1
Sinistra
(zia Sofia)
(1,1)
1
Destra
(cinema)
Giocatore 2
Sinistra
2
Destra
(punisce)
(non punisce)
(-1,-1)
(2,0)
GRAFICO IV
Se il bambino accetta di andare in visita da zia Sofia, cioè sceglie la
strategia a Sinistra, il gioco finisce. Quindi questa strategia è un equilibrio
di Nash.
Se il bambino rifiuta di visitare la zia, cioè sceglie Destra, il gioco arriva al
nodo 2 nel quale spetta al padre scegliere fra arrabbiarsi e punire il
bambino (strategia Destra-Sinistra), oppure non arrabbiarsi ed andare al
cinema (strategia Destra-Destra). Poiché la strategia Destra-Sinistra
comporta per lui un payoff negativo, il padre, di fatto, sceglie di non
arrabbiarsi e di andare al cinema, cioè Destra-Destra, il che comporta per
lui un premio nullo ed un premio pari a 2 per il bambino. Anche in DestraDestra il gioco finisce, quindi anche Destra-Destra è un equilibrio di Nash.
Se confrontiamo i due equilibri, notiamo che il primo
è sorretto dalla minaccia paterna di chiudere il bambino in casa,
ma questa
minaccia non è credibile,
perché il padre stesso non ha interesse ad attuarla. Solo la strategia DestraDestra corrisponde ad
un equilibrio di Nash effettivamente raggiungibile.
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In pratica, solo la soluzione con payoff (2,0), andare al cinema, è rilevante
all’interno del sottogioco costituito dalle strategie possibili a partire dal
nodo 2.
Possiamo perciò definire il concetto di:
equilibrio perfetto nei sottogiochi,
come
un insieme di strategie, una per ogni giocatore, tale che le azioni
prescritte costituiscono un equilibrio di Nash in ciascun sottogioco
che possa essere effettivamente raggiunto.
Possiamo, a questo punto, anche dare una definizione di
induzione all’indietro.
Questa consiste
nell’individuare gli equilibri caratterizzati da minacce credibili,
partendo dalla fine del gioco.
Anche il gioco illustrato nell’esempio seguente può essere risolto mediante
l’induzione all’indietro.
ESEMPIO 6
Giocatore 1
S
1
D
Giocatore 2
S
Giocatore 2
2
D
3
S
D
(4,4) (4,4)
Gio. 1 5 Gio. 1
S 4 D S
D
(5,0) (7,1) (2,1) (3,3)
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Iniziando dai sottogiochi che partono dai nodi 4 e 5 è facile verificare che i
payoff (5,0), (7,1) e (2,1) corrispondono a strategie sostenute da minacce
non credibili. Infatti in entrambi i nodi il giocatore 1 sceglie D e quindi il
giocatore 2, nel nodo 3, non sceglie S, con payoff 1, ma D, che gli
garantisce un premio di 3
Procedendo all’indietro, è inoltre facile verificare che, se 1 gioca per
primo, non sceglie D, che comporta per lui l’unico premio possibile pari a
3, ma sceglie S che gli assicura un premio pari a 4, sia che 2 scelga S, sia
che 2 scelga D. Essendo la scelta di 2, nel nodo 2, irrilevante, il gioco
termina con la scelta di 1 nel nodo 1.
• DOMINANZA DEBOLE E RICERCA DELLA SOLUZIONE
MEDIANTE L’ELIMINAZIONE ITERATA DELLE STRATEGIE
DOMINATE
Se, in un gioco ad informazione imperfetta, esistono strategie dominate
solo in senso debole, la ricerca di una soluzione mediante eliminazione
delle strategie dominate, sia in senso forte che in senso debole, può
produrre risultati che variano in funzione dell’ordine di eliminazione delle
strategie. Ciò è illustrato dall’esempio seguente.
ESEMPIO 7:
TAVOLA V
Giocatore 2
Giocatore 1
Strategie
1
2
1
20 , 0
20 , 2
2
10 , 1
10 , 0
3
4 , -4
2 , -2
Nel caso illustrato nella tavola V, la scelta fra le strategie 1 e 2 sarebbe
indifferente per il giocatore 1 se il giocatore 2 scegliesse la strategia 1 o la
strategia 2. Se, tuttavia, il giocatore 2 scegliesse la strategia 3, la strategia
1 sarebbe dominante per il giocatore 1. In questo caso si dice che, per il
giocatore 1, la strategia 1 domina debolmente la strategia 2, perché
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fornisce risultati migliori in corrispondenza di alcune scelte
strategiche dell’avversario, mentre le due strategie sono
indifferenti in corrispondenza di altre scelte dell’avversario.
In presenza di casi di dominanza debole l’eliminazione iterata delle
strategie dominate, può condurre a soluzioni diverse in funzione
dell’ordine in cui le strategie vengono eliminate.
Infatti, se supponiamo che il giocatore 2 elimini la strategia 2 dalle
possibili scelte del giocatore 1, perché è debolmente dominata, la tavola
del gioco si riduce alla riga corrispondente alla strategia 1 per il giocatore
1. Le scelte 1 e 3 da parte del giocatore 2 possono quindi essere eliminate,
perché dominate in senso stretto dalla strategia 2 e l’equilibrio di Nash si
ha in corrispondenza della coppia di strategie (1 , 2) per i due
giocatori.
Se tuttavia supponiamo che sia 1 a dover decidere quale strategia eliminare
dalle tre possibili alternative di 2, perché è dominata, la sua scelta cade
sicuramente sulla strategia 3. La tavola del gioco è perciò ridotta alle righe
e colonne corrispondenti alle strategie 1 e 2 per entrambi i giocatori, come
nella tavola seguente:
Giocatore 2
Giocatore 1
Strategie
1
2
1
20 , 0
20 , 2
2
10 , 1
10 , 0
Nel gioco così ridotto, tuttavia, esistono due equilibri di Nash,
corrispondenti alle coppie di strategie (2 , 1) e (1 , 2).
Il risultato del gioco dipende quindi dall’ordine in cui le strategie
dominate vengono eliminate.
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Quando un unico equilibrio di Nash può essere individuato mediante
l’eliminazione iterata delle strategie dominate, sia in senso forte che
debole, si dice che il gioco è risolvibile per dominanza.
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